双正交关系英文解释翻译、双正交关系的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 biorthogonality relation

分词翻译：

双的英语翻译：

both; double; even; twin; two; twofold
【化】 dyad
【医】 amb-; ambi-; ambo-; bi-; bis-; di-; diplo-; par

正交关系的英语翻译：

【计】 orthogonality relation

专业解析

在数学和工程领域（尤其是信号处理与小波分析中），双正交关系（Biorthogonality）指的是一对函数序列或向量序列之间满足的特殊正交条件。以下是详细解释：

一、术语定义与核心概念

汉英对照
- 中文：双正交关系
- 英文：Biorthogonality
- 核心含义：两组序列 ({ phi_n }) 与 ({ tilde{phi}_m }) 满足交叉内积为克罗内克δ函数：
  $$ langle phi_n, tilde{phi}m rangle = delta{nm} = begin{cases} 1 & text{if } n=m 0 & text{otherwise} end{cases} $$
与标准正交的区别
- 标准正交性要求同一序列自内积满足 (langle phi_n, phim rangle = delta{nm})，而双正交性涉及两组不同序列的相互正交性，灵活性更高，常见于非对称系统设计。

二、工程应用场景

双正交小波基
在信号处理中，双正交小波（如Cohen-Daubechies-Feauveau小波）使用一对不同的尺度函数与小波函数（(phi, psi) 和 (tilde{phi}, tilde{psi})），满足：

$$ langle psi{j,k}, tilde{psi}{m,n} rangle = delta{jm} delta{kn} $$

这一特性允许在保留对称性（利于图像处理）的同时实现完美信号重构。
线性系统求解
在数值分析中，双正交向量基可用于构造投影算法，例如求解微分方程时通过Petrov-Galerkin方法降低计算复杂度。

三、数学性质与优势

冗余自由度：双正交系统不要求序列自身正交，可设计更灵活的基函数（如具有线性相位的滤波器）。
对偶性：序列 ({ phi_n }) 与 ({ tilde{phi}_m }) 互为对偶框架，其Gram矩阵为单位阵，确保投影稳定性。
典型示例：Legendre多项式与对偶基在边界条件处理中的应用。

四、权威参考文献

教材
Daubechies, I. (1992). Ten Lectures on Wavelets. SIAM.

（第4章详解双正交小波构造）

论文
Cohen, A., Daubechies, I., & Feauveau, J. (1992). Biorthogonal Bases of Compactly Supported Wavelets. Communications on Pure and Applied Mathematics, 45(5), 485–560.

工具书
Mallat, S. (2009). A Wavelet Tour of Signal Processing (3rd ed.). Academic Press.

（第7章讨论双正交滤波器组设计）

网络扩展解释

双正交关系（Biorthogonality）是线性代数与信号处理中的核心概念，指两组基向量之间满足特定的正交性条件。以下是其关键点解析：

1.基本定义

双正交关系描述的是两组不同基向量之间的正交性。具体来说：

若存在两组基向量 ${phi_i}$ 和 ${psi_j}$，当且仅当 $i eq j$ 时，满足内积 $langle phi_i, psi_j rangle = 0$，而 $langle phi_i, psi_i rangle eq 0$，则这两组基称为双正交基。
每一组基内部不一定满足正交性，这是与标准正交基的关键区别。

2.与正交基的关系

正交基是双正交关系的特例：若基向量 ${phi_i}$ 满足自身内积 $langle phi_i, phi_j rangle = 0$（$i eq j$），则其对偶基即自身，此时双正交关系退化为正交关系。

3.数学性质

对偶基的唯一性：当基向量 ${phi_i}$ 线性无关且完备时，存在唯一的对偶基 ${psi_j}$，使得双正交关系成立。
冗余性与标架（Frame）：若基向量线性相关，则对偶基不唯一，此时基向量构成“标架”，用于冗余信号表示（如小波分析）。

4.应用领域

信号分解：在非正交基（如Gabor基）中，利用双正交关系可实现信号的无损重建。
数值计算：解决线性方程组时，双正交基可简化投影运算。

术语对照

英文翻译为Biorthogonality（对应“双正交性”）。

总结来说，双正交关系通过两组互补的基向量扩展了正交基的应用范围，尤其适用于非正交系统的分析与重构。