梯度算符英文解释翻译、梯度算符的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 gra***nt operator

分词翻译：

梯的英语翻译：

ladder; stairs; terraced

度的英语翻译：

consideration; tolerance; degree; limit; linear measure; surmise; estimate
extent
【计】 degrees; k.w.h.
【化】 dimension; kilowatt hour
【医】 Deg.; degree
【经】 degree

算符的英语翻译：

【计】 OP; operator symbol
【化】 operator

专业解析

梯度算符（Gradient Operator）是向量分析中的核心概念，汉英词典中常以“梯度算符”对应英文“nabla operator”或“del operator”，符号表示为∇。其数学定义为：对于三维空间中的标量场( f(x,y,z) )，梯度算符作用后生成一个向量场，表达式为

abla f = left( frac{partial f}{partial x}, frac{partial f}{partial y}, frac{partial f}{partial z} right) $$

该向量方向指向标量场增长最快的速率，模长表示该方向上的变化率。

在物理学中，梯度算符用于描述电势场、温度场等物理量的空间变化。例如，静电场强度( mathbf{E} )与电势( V )的关系可表示为( mathbf{E} = - abla V )。这一运算特性使其成为电磁学、流体力学等领域的基础工具。

权威数学文献如《数学分析原理》（Principles of Mathematical Analysis）指出，梯度算符的严格定义依赖于多元函数的偏导数存在性与连续性条件。而工程应用中，《工程数学手册》（Handbook of Engineering Mathematics）强调其离散化形式在数值模拟中的重要性，如有限差分法中的近似计算。

网络扩展解释

梯度算符（符号为$ abla$，读作“nabla”）是向量分析中的核心概念，主要用于描述标量场在空间中的变化率和方向。以下是详细解释：

1.数学定义

在三维笛卡尔坐标系中，梯度算符定义为： $$

abla = left( frac{partial}{partial x}, frac{partial}{partial y}, frac{partial}{partial z} right) $$ 当作用于一个标量函数$f(x,y,z)$时，梯度表示为： $$

abla f = left( frac{partial f}{partial x}, frac{partial f}{partial y}, frac{partial f}{partial z} right) $$ 结果是一个向量，指向标量场增长最快的方向，其模长为该方向的最大变化率。

2.几何意义

梯度向量垂直于标量场的等值面（如等高线、等温面）。例如：

温度场中，梯度指向温度升高最快的方向。
地势场中，梯度指向坡度最陡的上坡方向。

3.物理应用

梯度算符广泛用于物理场的描述：

电场：电势$V$的梯度负值给出电场强度，即$mathbf{E} = - abla V$。
热传导：热流方向由温度梯度$ abla T$决定。
流体力学：压力梯度驱动流体流动。

4.与其他算符的关系

梯度是向量微分算符的一种形式，与以下算符共同构成向量分析的基础：

散度（$ abla cdot mathbf{F}$）：描述向量场的“发散程度”。
旋度（$ abla times mathbf{F}$）：描述向量场的旋转特性。

5.扩展说明

坐标系扩展：在柱坐标、球坐标中，梯度表达式形式不同（需用拉梅系数推导）。
机器学习：梯度下降法利用梯度方向寻找函数最小值，是优化算法的核心。

示例

若$f(x,y,z) = x + y + z$，则： $$

abla f = (2x, 2y, 2z) $$ 表示从原点向外辐射的向量场，模长随距离线性增长。

梯度算符的本质是将标量场的变化信息编码为向量，是连接标量与向量场的桥梁，广泛应用于自然科学和工程领域。