殘餘項英文解釋翻譯、殘餘項的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【化】 residual term

分詞翻譯：

殘餘的英語翻譯：

end; relict; remainder; remains; survivals; vestige
【醫】 R.; remnant; residue; residuum

項的英語翻譯：

nape; nucha; sum; term
【計】 item
【醫】 nape; nape of neck; nucha; scruff of neck; trachel-; trachelo-
【經】 item

專業解析

在漢英詞典視角下，“殘餘項”（Residual Term）通常指數學、工程或統計模型中未被主要部分解釋的剩餘量。其核心含義與英文“residual”一緻，強調“殘留的、未完全消除的部分”。以下是具體解釋：

一、數學領域的定義

在泰勒展開式（Taylor Expansion）中，殘餘項表示函數展開式與原函數之間的誤差。若函數 ( f(x) ) 在點 ( a ) 處展開為： $$ f(x) = sum_{k=0}^{n} frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + R_n(x) $$ 其中 ( R_n(x) ) 即為殘餘項（Remainder Term），反映多項式逼近的精度。

常見形式：

拉格朗日餘項：( R_n(x) = frac{f^{(n+1)}(xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} )，其中 ( xi ) 介于 ( a ) 與 ( x ) 之間。

二、工程與統計學的延伸含義

信號處理
在濾波或系統模型中，殘餘項指噪聲、幹擾等未被濾除的殘留分量，例如：

接收信號 = 目标信號 +殘餘項（噪聲/誤差）。
統計學與回歸分析
線性回歸模型 ( y = beta_0 + beta_1 x + epsilon ) 中，( epsilon ) 稱為殘差（Residual），即觀測值與模型預測值的偏差，用于評估模型拟合質量。

三、使用場景與權威參考

數學場景：用于分析函數逼近的誤差範圍（如數值計算）。
工程場景：描述系統未建模動态或測量誤差（如控制系統設計）。
統計場景：通過殘差分析檢驗模型假設（如異方差性檢測）。

權威來源參考：

《數學分析》（高等教育出版社） - 泰勒公式餘項證明（第5章）
Wolfram MathWorld: Remainder Theorem
IEEE: Signal Processing Terminology - 殘餘誤差定義（标準文檔庫）
《統計學導論》（Pearson） - 回歸殘差分析（第12章）

四、漢英對照關鍵術語

中文	英文
殘餘項	Residual Term
拉格朗日餘項	Lagrange Remainder
殘差	Residual Error
未建模動态	Unmodeled Dynamics

網絡擴展解釋

“殘餘項”（或“殘差項”）是數學、統計學和工程學中的常見概念，具體含義因領域而異，以下是詳細解釋：

1. 統計學中的殘餘項

在回歸分析中，殘餘項指觀測值與模型預測值之間的差異。例如線性回歸模型： $$ y_i = beta_0 + beta_1 x_i + epsilon_i $$ 其中：

( y_i ) 是實際觀測值；
( beta_0 + beta_1 x_i ) 是模型預測值；
( epsilon_i ) 即為殘餘項，表示未被模型解釋的隨機誤差或遺漏因素。

作用：

檢驗模型假設（如正态性、同方差性）；
通過殘差圖診斷模型拟合效果；
計算誤差指标（如均方誤差、R²）。

2. 數學分析中的殘餘項

在泰勒展開或多項式逼近中，殘餘項（餘項）是展開式與原函數的差值。例如泰勒公式： $$ f(x) = sum_{k=0}^n frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + R_n(x) $$ 其中 ( R_n(x) ) 是殘餘項，表示截斷誤差。常見形式：

拉格朗日餘項：( R_n(x) = frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} )（( c ) 在 ( a ) 和 ( x ) 之間），用于精确誤差估計；
佩亞諾餘項：( R_n(x) = o((x-a)^n) )，描述當 ( x to a ) 時餘項的無窮小量級。

應用：評估近似值的精度，例如在工程計算中控制誤差範圍。

3. 數值計算中的殘餘項

在疊代法或數值逼近中，殘餘項指每一步疊代後剩餘的未消除誤差。例如：

方程求解：若近似解為 ( x_k )，殘餘項為 ( |f(x_k)| )；
數值積分：殘餘項反映積分近似值與真實值的差距。

作用：判斷算法收斂性，指導參數調整以提升精度。

統計學：殘餘項是模型未解釋的隨機誤差；
數學分析：殘餘項是近似展開與原函數的誤差；
數值計算：殘餘項反映疊代或逼近的剩餘誤差。

若需特定領域（如機器學習、物理建模）的深入解釋，可結合具體場景進一步探讨。