殘數英文解釋翻譯、殘數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【經】 residuum

分詞翻譯：

殘的英語翻譯：

incomplete; remnant

數的英語翻譯：

a few; count; enumerate; fate; frequently; list; number; numeral; numeric
reckon; repeatedly; serveral
【計】 crossing number; N
【醫】 number
【經】 number

專業解析

在複變函數理論中，殘數（Residue）是解析函數在孤立奇點處的重要特征量。根據漢英數學詞典的釋義，其定義為：若函數$f(z)$在點$z0$的洛朗展開式為 $$ f(z)=sum{n=-infty}^{infty} a_n(z-z0)^n $$ 則系數$a{-1}$稱為$f(z)$在$z0$處的殘數，記作$mathop{Res}limits{z=z_0}f(z)$。

計算殘數的常用方法包括：

直接展開法：通過洛朗級數展開獲取$a_{-1}$項
極值點公式：當$z0$為$m$階極點時，公式為 $$ mathop{Res}limits{z=z0}f(z)=frac{1}{(m-1)!}lim{zto z_0}frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}[(z-z_0)^mf(z)] $$

在工程數學中，殘數定理被廣泛應用于實積分計算。如計算形如$int_{-infty}^{infty} f(x)dx$的積分時，可通過構造圍道積分并求殘數之和得到結果，該方法在信號處理領域有重要應用。

權威參考資料：

高木貞治《解析概論》（岩波書店，1938）第三章
Lars Ahlfors《Complex Analysis》（McGraw-Hill，1979）第4.5節
中國數學會《數學名詞》（科學出版社，1993）第7章複變函數術語表

網絡擴展解釋

“殘數”在不同學科中有不同含義，以下是兩個主要領域的解釋：

一、複變函數中的留數（Residue）

在複分析中，留數是複變函數在孤立奇點（如極點）處的特殊系數，用于計算圍道積分。其核心定義與作用如下：

定義：若複函數 ( f(z) ) 在 ( z0 ) 處有孤立奇點，其洛朗展開式為 ( f(z) = sum{n=-infty}^{infty} a_n (z-z0)^n )，則 ( a{-1} ) 稱為 ( f(z) ) 在 ( z_0 ) 處的留數，記作 ( text{Res}(f, z_0) )。
計算方法：
- 一階極點：( text{Res}(f, z0) = lim{z to z_0} (z - z_0)f(z) )
- 高階極點：需通過洛朗展開或導數公式計算。
應用：留數定理表明，沿閉合路徑的積分等于路徑内所有奇點留數之和乘以 ( 2pi i )，即： $$ oint_C f(z) , dz = 2pi i sum text{Res}(f, z_k) $$ 這一工具廣泛用于物理和工程中的積分計算。

二、統計學中的殘差（Residual）

在回歸分析中，殘差指觀測值與模型預測值的差異：

定義：對于數據點 ( (x_i, y_i) )，若模型預測值為 ( hat{y}_i )，則殘差 ( e_i = y_i - hat{y}_i )。
作用：
- 評估模型拟合優度（如殘差平方和 ( sum e_i )）。
- 診斷模型假設是否成立（如通過殘差圖檢驗異方差性、非線性等）。

區分關鍵

數學留數：複數域概念，用于積分計算。
統計殘差：實數域概念，用于模型評估。

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