残数英文解释翻译、残数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【经】 residuum

分词翻译：

残的英语翻译：

incomplete; remnant

数的英语翻译：

a few; count; enumerate; fate; frequently; list; number; numeral; numeric
reckon; repeatedly; serveral
【计】 crossing number; N
【医】 number
【经】 number

专业解析

在复变函数理论中，残数（Residue）是解析函数在孤立奇点处的重要特征量。根据汉英数学词典的释义，其定义为：若函数$f(z)$在点$z0$的洛朗展开式为 $$ f(z)=sum{n=-infty}^{infty} a_n(z-z0)^n $$ 则系数$a{-1}$称为$f(z)$在$z0$处的残数，记作$mathop{Res}limits{z=z_0}f(z)$。

计算残数的常用方法包括：

直接展开法：通过洛朗级数展开获取$a_{-1}$项
极值点公式：当$z0$为$m$阶极点时，公式为 $$ mathop{Res}limits{z=z0}f(z)=frac{1}{(m-1)!}lim{zto z_0}frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}[(z-z_0)^mf(z)] $$

在工程数学中，残数定理被广泛应用于实积分计算。如计算形如$int_{-infty}^{infty} f(x)dx$的积分时，可通过构造围道积分并求残数之和得到结果，该方法在信号处理领域有重要应用。

权威参考资料：

高木贞治《解析概论》（岩波书店，1938）第三章
Lars Ahlfors《Complex Analysis》（McGraw-Hill，1979）第4.5节
中国数学会《数学名词》（科学出版社，1993）第7章复变函数术语表

网络扩展解释

“残数”在不同学科中有不同含义，以下是两个主要领域的解释：

一、复变函数中的留数（Residue）

在复分析中，留数是复变函数在孤立奇点（如极点）处的特殊系数，用于计算围道积分。其核心定义与作用如下：

定义：若复函数 ( f(z) ) 在 ( z0 ) 处有孤立奇点，其洛朗展开式为 ( f(z) = sum{n=-infty}^{infty} a_n (z-z0)^n )，则 ( a{-1} ) 称为 ( f(z) ) 在 ( z_0 ) 处的留数，记作 ( text{Res}(f, z_0) )。
计算方法：
- 一阶极点：( text{Res}(f, z0) = lim{z to z_0} (z - z_0)f(z) )
- 高阶极点：需通过洛朗展开或导数公式计算。
应用：留数定理表明，沿闭合路径的积分等于路径内所有奇点留数之和乘以 ( 2pi i )，即： $$ oint_C f(z) , dz = 2pi i sum text{Res}(f, z_k) $$ 这一工具广泛用于物理和工程中的积分计算。

二、统计学中的残差（Residual）

在回归分析中，残差指观测值与模型预测值的差异：

定义：对于数据点 ( (x_i, y_i) )，若模型预测值为 ( hat{y}_i )，则残差 ( e_i = y_i - hat{y}_i )。
作用：
- 评估模型拟合优度（如残差平方和 ( sum e_i )）。
- 诊断模型假设是否成立（如通过残差图检验异方差性、非线性等）。

区分关键

数学留数：复数域概念，用于积分计算。
统计残差：实数域概念，用于模型评估。

若需进一步探讨具体领域的公式或案例，可提供更多背景信息。