vector space是什麼意思，vector space的意思翻譯、用法、同義詞、例句

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例句

專業解析

向量空間（vector space）是線性代數中的核心概念，指由一組向量構成的集合，這些向量在加法和标量乘法運算下滿足特定公理。其數學定義為：設$V$為非空集合，$mathbb{F}$為标量域（如實數域或複數域），若$V$中元素滿足向量加法封閉性、标量乘法封閉性，以及結合律、分配律等8條公理，則稱$V$為$mathbb{F}$上的向量空間。

典型例子包括：

1. 幾何空間：二維或三維歐幾裡得空間中的箭頭向量集合，可進行平移和縮放操作（參考《線性代數及其應用》教材）。
2. 函數空間：多項式函數或連續函數構成的集合，滿足函數相加和數乘運算規則（參考MIT線性代數公開課資料）。

向量空間需滿足以下關鍵特性：

• 存在零向量作為加法單位元
• 每個向量有對應的加法逆元
• 标量乘法與域運算兼容

在工程領域，向量空間理論廣泛應用于信號處理（如将信號表示為向量）、控制系統分析（狀态空間建模）和計算機圖形學（三維坐标變換）。機器學習中的特征空間本質也是高維向量空間，數據樣本可表示為空間中的點（參考斯坦福大學CS229課程材料）。

網絡擴展資料

向量空間（vector space），又稱線性空間，是線性代數的核心概念，指滿足特定公理體系的數學結構。以下是詳細解釋：

1. 基本定義 向量空間由兩部分構成：

• 非空集合（元素稱為向量，如幾何箭頭、函數、矩陣等）
• 标量域（通常是實數域 ℝ 或複數域 ℂ）

需滿足以下運算規則：

• 向量加法：任意兩個向量相加仍屬于該空間
• 标量乘法：标量與向量相乘後仍屬于該空間

2. 核心公理 必須滿足8條公理，包括：

• 加法交換律：$mathbf{u} + mathbf{v} = mathbf{v} + mathbf{u}$
• 存在零向量：$mathbf{0} + mathbf{v} = mathbf{v}$
• 标量分配律：$a(mathbf{u} + mathbf{v}) = amathbf{u} + amathbf{v}$

3. 典型示例

• 幾何空間：二維平面/三維空間中的箭頭
• 多項式空間：次數≤n的多項式集合
• 函數空間：滿足特定條件的函數集合
• 矩陣空間：m×n矩陣的全體

4. 重要性質

• 必包含零向量
• 每個向量有唯一的負向量
• 滿足線性組合的封閉性：$c_1mathbf{v}_1 + cdots + c_kmathbf{v}_k$ 仍屬于空間

5. 應用領域

• 解線性方程組
• 計算機圖形學中的坐标變換
• 機器學習中的特征空間表示
• 量子力學的态空間

向量空間的概念突破了直觀幾何向量的限制，允許用統一方法處理各種數學對象，是現代數學和工程應用的基礎框架。

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