least square是什麼意思，least square的意思翻譯、用法、同義詞、例句

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例句

專業解析

最小二乘法（Least Squares）是一種基于誤差平方和最小化的數學優化方法，廣泛應用于統計學、信號處理和機器學習等領域。其核心思想是通過調整模型參數，使得預測值與實際觀測值之間的殘差平方和達到最小，從而獲得數據的最佳拟合結果。

數學原理

對于線性模型 $y = Xbeta + epsilon$，其中 $X$ 是自變量矩陣，$beta$ 是待求參數向量，$epsilon$ 為誤差項，最小二乘法的目标函數為： $$ min{beta} sum{i=1}^n (y_i - X_ibeta) $$ 通過求導并令導數為零，可得解析解 $hat{beta} = (X^TX)^{-1}X^Ty$。該解在滿足高斯-馬爾可夫定理條件時，具有無偏性和最小方差特性。

應用領域

1. 信號處理：用于濾波器設計與噪聲消除（來源：IEEE Signal Processing Magazine）。
2. 經濟學：回歸分析中估計變量間定量關系（來源：Journal of Econometrics）。
3. 機器學習：作為線性回歸、主成分分析（PCA）等算法的基礎（來源：MIT《深度學習》課程講義）。

曆史與發展

該方法由高斯（1809年）和勒讓德（1805年）獨立提出，早期用于天體運動軌迹計算。現代擴展版本包括加權最小二乘法、非線性最小二乘法等（來源：Springer《數值分析》教材）。

網絡擴展資料

最小二乘法（Least Squares）是一種數學優化方法，主要用于通過最小化預測值與實際觀測值之間的誤差平方和，來拟合數據模型并估計參數。以下是詳細解釋：

1. 核心原理

• 目标：找到一組模型參數，使得所有數據點的預測值與真實值之差的平方和最小。
• 數學表達：
  設觀測數據為 ((x_i, y_i))，模型為 (y = f(x; beta))（例如線性模型 (y = beta_0 + beta1 x)），則最小二乘法的目标是：
  $$min{beta} sum_{i=1}^n (y_i - f(x_i; beta))$$
  其中，(beta) 是待估計的參數。

2. 線性最小二乘法

• 適用場景：模型是參數的線性組合（例如線性回歸 (y = beta_0 + beta_1 x_1 + beta_2 x_2)）。
• 解法：通過求導使誤差平方和對參數的偏導數為零，得到正規方程組（Normal Equations）：
  $$X^T X beta = X^T y$$
  其中，(X) 是設計矩陣，(y) 是觀測值向量，(beta) 是參數向量。

3. 應用領域

• 統計學：回歸分析、參數估計。
• 工程學：信號處理、系統辨識。
• 機器學習：線性回歸、曲線拟合。
• 經濟學：預測趨勢和變量關系。

4. 優缺點

• 優點：計算簡單、解析解明确、對線性關系敏感。
• 缺點：對異常值敏感（平方會放大大誤差）、需滿足高斯-馬爾可夫假設（如誤差同方差、無自相關）。

5. 示例

假設用直線 (y = a + bx) 拟合數據點 ((1, 1), (2, 3), (3, 3))，通過最小二乘法可解得斜率 (b) 和截距 (a)，使得直線與數據點的垂直距離平方和最小。

最小二乘法是數據建模的基礎工具，廣泛應用于科學和工程領域。如需進一步了解具體推導或應用案例，可參考統計學或數值分析教材。

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