least square是什么意思，least square的意思翻译、用法、同义词、例句

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例句

专业解析

最小二乘法（Least Squares）是一种基于误差平方和最小化的数学优化方法，广泛应用于统计学、信号处理和机器学习等领域。其核心思想是通过调整模型参数，使得预测值与实际观测值之间的残差平方和达到最小，从而获得数据的最佳拟合结果。

数学原理

对于线性模型 $y = Xbeta + epsilon$，其中 $X$ 是自变量矩阵，$beta$ 是待求参数向量，$epsilon$ 为误差项，最小二乘法的目标函数为： $$ min{beta} sum{i=1}^n (y_i - X_ibeta) $$ 通过求导并令导数为零，可得解析解 $hat{beta} = (X^TX)^{-1}X^Ty$。该解在满足高斯-马尔可夫定理条件时，具有无偏性和最小方差特性。

应用领域

1. 信号处理：用于滤波器设计与噪声消除（来源：IEEE Signal Processing Magazine）。
2. 经济学：回归分析中估计变量间定量关系（来源：Journal of Econometrics）。
3. 机器学习：作为线性回归、主成分分析（PCA）等算法的基础（来源：MIT《深度学习》课程讲义）。

历史与发展

该方法由高斯（1809年）和勒让德（1805年）独立提出，早期用于天体运动轨迹计算。现代扩展版本包括加权最小二乘法、非线性最小二乘法等（来源：Springer《数值分析》教材）。

网络扩展资料

最小二乘法（Least Squares）是一种数学优化方法，主要用于通过最小化预测值与实际观测值之间的误差平方和，来拟合数据模型并估计参数。以下是详细解释：

1. 核心原理

• 目标：找到一组模型参数，使得所有数据点的预测值与真实值之差的平方和最小。
• 数学表达：
  设观测数据为 ((x_i, y_i))，模型为 (y = f(x; beta))（例如线性模型 (y = beta_0 + beta1 x)），则最小二乘法的目标是：
  $$min{beta} sum_{i=1}^n (y_i - f(x_i; beta))$$
  其中，(beta) 是待估计的参数。

2. 线性最小二乘法

• 适用场景：模型是参数的线性组合（例如线性回归 (y = beta_0 + beta_1 x_1 + beta_2 x_2)）。
• 解法：通过求导使误差平方和对参数的偏导数为零，得到正规方程组（Normal Equations）：
  $$X^T X beta = X^T y$$
  其中，(X) 是设计矩阵，(y) 是观测值向量，(beta) 是参数向量。

3. 应用领域

• 统计学：回归分析、参数估计。
• 工程学：信号处理、系统辨识。
• 机器学习：线性回归、曲线拟合。
• 经济学：预测趋势和变量关系。

4. 优缺点

• 优点：计算简单、解析解明确、对线性关系敏感。
• 缺点：对异常值敏感（平方会放大大误差）、需满足高斯-马尔可夫假设（如误差同方差、无自相关）。

5. 示例

假设用直线 (y = a + bx) 拟合数据点 ((1, 1), (2, 3), (3, 3))，通过最小二乘法可解得斜率 (b) 和截距 (a)，使得直线与数据点的垂直距离平方和最小。

最小二乘法是数据建模的基础工具，广泛应用于科学和工程领域。如需进一步了解具体推导或应用案例，可参考统计学或数值分析教材。

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