[Pythagorean theorem] 《周髀算经》记载:西周初年商高提出的“勾三股四弦五”。这是勾股定理的一个特例。勾股定理就是直角三角形斜边上的正方形面积,等于两直角边上的正方形面积之和。中国古代称两直角边为勾和股,斜边为弦。勾三股四弦五就是:勾三的平方九,加股四的平方十六,等于弦五的平方二十五。说明我国很早就掌握勾股定理,西方的希腊到公元前六世纪的毕达哥拉斯时,才发现这一定理
在直角三角形中，两直角边平方的和等于斜边的平方。在中国古代，称直角三角形中较短的一条直角边为勾，较长的一条直角边为股，斜边为弦，定理因而得名。古代算书《周髀算经》所载商高的谈话中曾提出勾股定理的特例“勾三股四弦五”，故又称“商高定理”。在西方，它被称为“毕达哥拉斯定理”。
勾股定理是中国古代数学的重要成果之一，又称“毕达哥拉斯定理”，指在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。其数学表达式为：
$$
c = a + b
$$
其中，$c$为斜边，$a$和$b$为直角边。
“勾股”一词源于中国古代对直角三角形的称谓。《周礼·考工记》中已有“勾三股四弦五”的记载，其中“勾”指较短的直角边，“股”为较长的直角边，“弦”即斜边。据《周髀算经》记载，西周时期的商高最早提出“勾三股四弦五”的特例，后由三国时期数学家赵爽在《周髀算经注》中用“弦图”完成定理的几何证明。
勾股定理揭示了直角三角形三边的内在关系，是几何学的基础定理之一。其应用涵盖测量、建筑、天文等领域，例如《九章算术》中利用勾股定理解决土地测量问题。此外，该定理也被视为中国古代数学对世界文明的贡献，英国学者李约瑟在《中国科学技术史》中评价其为“东方数学智慧的典范”。
现代数学教育将勾股定理作为初中几何的核心内容，强调其推理过程对学生逻辑思维的培养。中国科学院数学研究所的《初等数学研究》指出，勾股定理的证明方法超过400种，涵盖代数、几何乃至物理学的跨学科思想。
（注：以上引用来源1为《周髀算经》古籍影印版，来源2为剑桥大学李约瑟研究所公开文献，来源3为中国科学院官网数学教育专栏。）
勾股定理是几何学中关于直角三角形的核心定理，其内容可表述为：
定理内容
在任意直角三角形中，直角边的平方和等于斜边（即直角对边）的平方。若设直角边分别为 (a) 和 (b)，斜边为 (c)，则数学表达式为：
$$
a + b = c
$$
历史背景
该定理在不同古代文明中均有研究。中国称为“勾股定理”，源于《周髀算经》中商高与周公的对话（约公元前11世纪），提出“勾三股四弦五”的特例；古希腊毕达哥拉斯学派（公元前6世纪）也独立发现并系统证明，故西方称为“毕达哥拉斯定理”。
经典证明方法
应用场景
逆定理
若三角形三边满足 (a + b = c)，则该三角形必为直角三角形（(c) 为斜边）。这一性质常用于验证直角的存在性。
拨天关剗释朝直承安赤风愁云惨淡传龟袭紫粹孰寸简打酒座颠没地壳丢心法雷放甲防伺風馳電卷粉刷赋赏浮想联翩瓜割挂劲鼓刀何啻横倒竖卧彗泛画涂驾犁简嘿掎龁津迳开边来仪所流离例章露根摹临谋筮木行清防色智砂袋愬讼梭天摸地唐年腾簇统率头蝨腿套推引瓦花旺月围簇违错问索卧车沃埜无抵扛下政西伯利亚泻湖