爱因斯坦求和约定英文解释翻译、爱因斯坦求和约定的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【化】 Einstein summation convention

分词翻译：

爱因斯坦的英语翻译：

Einstein
【化】 einstein

求的英语翻译：

beg; entreat; request; seek; try

和约的英语翻译：

peace treaty
【法】 pacification; peace talk; treaty of peace

定的英语翻译：

book; order; decide; fix; stable; surely; calm

专业解析

爱因斯坦求和约定（Einstein Summation Convention）是数学和物理学中用于简化张量运算的记号规则，由阿尔伯特·爱因斯坦于1916年提出。其核心思想是：当表达式中出现重复的上下标时，默认对该指标的所有可能取值求和，从而省略求和符号（Σ）。以下从汉英词典角度解析其详细含义：

一、核心规则（Core Rules）

重复指标求和（Summation over Repeated Indices）
若同一项中某个指标（通常用拉丁字母如 (i, j, k) 表示）同时出现在上标和下标位置，则自动对该指标的所有可能值求和。

示例（Example）:
- 内积运算：( mathbf{a} cdot mathbf{b} = ai b^i = sum{i=1}^{n} a_i b^i )
  （(i) 为重复指标，默认对 (i=1,2,dots,n) 求和）
自由指标与哑指标（Free vs. Dummy Indices）
- 自由指标（Free indices）：仅出现一次的指标，代表方程中的独立变量。
- 哑指标（Dummy indices）：重复出现的指标，求和后不显式出现在结果中。
  示例: ( T_{ij} v^j = w_i ) 中，(j) 为哑指标（求和），(i) 为自由指标。

二、应用场景（Applications）

张量运算（Tensor Operations）
广泛用于广义相对论、流体力学中的张量方程，如黎曼曲率张量：

[ R^{rho}_{ sigmamu u} = partialmu Gamma^{rho}{ usigma} - partial u Gamma^{rho}{musigma} + Gamma^{rho}{mulambda} Gamma^{lambda}{ usigma} - Gamma^{rho}{ ulambda} Gamma^{lambda}{musigma} ]

（重复指标 (lambda) 自动求和）
矢量与矩阵运算（Vector and Matrix Algebra）
- 矩阵乘法：( C{ik} = A{ij} B_{jk} )（对 (j) 求和）
- 叉积：( (mathbf{a} times mathbf{b})i = epsilon{ijk} a_j bk )（(epsilon{ijk}) 为Levi-Civita符号，对 (j,k) 求和）

三、注意事项（Cautions）

指标平衡（Index Balance）
方程两边的自由指标必须完全一致，否则无效。例如：( A{ij} = B{ik} C{kj} )（合法） vs. ( A{i} = B_{ij} )（非法）。
上下标位置（Superscript and Subscript Position）
在闵可夫斯基时空等场景中，上下标区分协变与逆变分量（如 (x^mu) 与 (x_mu)），重复时需严格匹配位置。

权威参考文献（Authoritative References）

广义相对论经典教材
Weinberg, S. (1972). Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity. John Wiley & Sons.

（第2章详述求和约定在张量分析中的应用）
数学物理方法指南
Arfken, G. B., Weber, H. J., & Harris, F. E. (2013). Mathematical Methods for Physicists (7th ed.). Academic Press.

（第4.3节解释指标记号与求和约定）
爱因斯坦原始论文
Einstein, A. (1916). The Foundation of the General Theory of Relativity. Annalen der Physik.

（首次系统引入该约定）

通过上述规则，爱因斯坦求和约定显著简化了高阶张量运算的表达，成为现代理论物理学的标准工具。其核心在于通过指标重复性隐式定义求和，避免冗余符号，提升公式的简洁性与可读性。

网络扩展解释

爱因斯坦求和约定（Einstein summation convention）是一种数学标记法，主要用于简化涉及多维数组或张量的求和表达式。以下是综合多个来源的详细解释：

1.定义与起源

基本概念：该约定通过省略求和符号（Σ），用重复的指标（上标或下标）隐式表示求和操作。例如，向量点积$v_i w^i$实际表示$sum_i v_i w^i$ 。
提出背景：由物理学家阿尔伯特·爱因斯坦于1916年提出，最初用于简化广义相对论中的张量运算。爱因斯坦曾幽默地称其为“数学史上的一大发现” 。

2.核心规则

哑指标（Dummy index）：同一项中重复出现两次的指标（如$A_{ij} B^{jk}$中的j），需对该指标所有可能的取值求和。
自由指标（Free index）：仅出现一次的指标（如$C{ik} = A{ij} B^{jk}$中的i、k），代表结果的维度，不参与求和。

3.应用场景

物理学：广泛用于相对论、流体力学中的张量运算，如能量-动量张量$T^{mu u}$的表达式。
计算机科学：NumPy/PyTorch等库的einsum函数基于此约定实现多维数组的高效操作，例如矩阵乘法（ij,jk->ik）。

4.数学表达式示例

向量点积：$vi w^i$ 等价于 $sum{i=1}^n v_i w_i$。
矩阵乘法：$C{ik} = A{ij} B{jk}$（隐式求和j），展开后为 $C{ik} = sumj A{ij} B_{jk}$ 。

5.注意事项

非指数含义：上标通常表示坐标维度而非幂次，如$x, x$对应直角坐标系的x、y轴。
灵活性：其本质是求和规则，不限定具体运算类型（如内积、外积），需通过指标组合定义具体操作。

如需进一步了解编程实现（如NumPy的einsum函数），可参考来源；数学原理详见来源。