愛因斯坦求和約定英文解釋翻譯、愛因斯坦求和約定的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【化】 Einstein summation convention

分詞翻譯：

愛因斯坦的英語翻譯：

Einstein
【化】 einstein

求的英語翻譯：

beg; entreat; request; seek; try

和約的英語翻譯：

peace treaty
【法】 pacification; peace talk; treaty of peace

定的英語翻譯：

book; order; decide; fix; stable; surely; calm

專業解析

愛因斯坦求和約定（Einstein Summation Convention）是數學和物理學中用于簡化張量運算的記號規則，由阿爾伯特·愛因斯坦于1916年提出。其核心思想是：當表達式中出現重複的上下标時，默認對該指标的所有可能取值求和，從而省略求和符號（Σ）。以下從漢英詞典角度解析其詳細含義：

一、核心規則（Core Rules）

重複指标求和（Summation over Repeated Indices）
若同一項中某個指标（通常用拉丁字母如 (i, j, k) 表示）同時出現在上标和下标位置，則自動對該指标的所有可能值求和。

示例（Example）:
- 内積運算：( mathbf{a} cdot mathbf{b} = ai b^i = sum{i=1}^{n} a_i b^i )
  （(i) 為重複指标，默認對 (i=1,2,dots,n) 求和）
自由指标與啞指标（Free vs. Dummy Indices）
- 自由指标（Free indices）：僅出現一次的指标，代表方程中的獨立變量。
- 啞指标（Dummy indices）：重複出現的指标，求和後不顯式出現在結果中。
  示例: ( T_{ij} v^j = w_i ) 中，(j) 為啞指标（求和），(i) 為自由指标。

二、應用場景（Applications）

張量運算（Tensor Operations）
廣泛用于廣義相對論、流體力學中的張量方程，如黎曼曲率張量：

[ R^{rho}_{ sigmamu u} = partialmu Gamma^{rho}{ usigma} - partial u Gamma^{rho}{musigma} + Gamma^{rho}{mulambda} Gamma^{lambda}{ usigma} - Gamma^{rho}{ ulambda} Gamma^{lambda}{musigma} ]

（重複指标 (lambda) 自動求和）
矢量與矩陣運算（Vector and Matrix Algebra）
- 矩陣乘法：( C{ik} = A{ij} B_{jk} )（對 (j) 求和）
- 叉積：( (mathbf{a} times mathbf{b})i = epsilon{ijk} a_j bk )（(epsilon{ijk}) 為Levi-Civita符號，對 (j,k) 求和）

三、注意事項（Cautions）

指标平衡（Index Balance）
方程兩邊的自由指标必須完全一緻，否則無效。例如：( A{ij} = B{ik} C{kj} )（合法） vs. ( A{i} = B_{ij} )（非法）。
上下标位置（Superscript and Subscript Position）
在闵可夫斯基時空等場景中，上下标區分協變與逆變分量（如 (x^mu) 與 (x_mu)），重複時需嚴格匹配位置。

權威參考文獻（Authoritative References）

廣義相對論經典教材
Weinberg, S. (1972). Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity. John Wiley & Sons.

（第2章詳述求和約定在張量分析中的應用）
數學物理方法指南
Arfken, G. B., Weber, H. J., & Harris, F. E. (2013). Mathematical Methods for Physicists (7th ed.). Academic Press.

（第4.3節解釋指标記號與求和約定）
愛因斯坦原始論文
Einstein, A. (1916). The Foundation of the General Theory of Relativity. Annalen der Physik.

（首次系統引入該約定）

通過上述規則，愛因斯坦求和約定顯著簡化了高階張量運算的表達，成為現代理論物理學的标準工具。其核心在于通過指标重複性隱式定義求和，避免冗餘符號，提升公式的簡潔性與可讀性。

網絡擴展解釋

愛因斯坦求和約定（Einstein summation convention）是一種數學标記法，主要用于簡化涉及多維數組或張量的求和表達式。以下是綜合多個來源的詳細解釋：

1.定義與起源

基本概念：該約定通過省略求和符號（Σ），用重複的指标（上标或下标）隱式表示求和操作。例如，向量點積$v_i w^i$實際表示$sum_i v_i w^i$ 。
提出背景：由物理學家阿爾伯特·愛因斯坦于1916年提出，最初用于簡化廣義相對論中的張量運算。愛因斯坦曾幽默地稱其為“數學史上的一大發現” 。

2.核心規則

啞指标（Dummy index）：同一項中重複出現兩次的指标（如$A_{ij} B^{jk}$中的j），需對該指标所有可能的取值求和。
自由指标（Free index）：僅出現一次的指标（如$C{ik} = A{ij} B^{jk}$中的i、k），代表結果的維度，不參與求和。

3.應用場景

物理學：廣泛用于相對論、流體力學中的張量運算，如能量-動量張量$T^{mu u}$的表達式。
計算機科學：NumPy/PyTorch等庫的einsum函數基于此約定實現多維數組的高效操作，例如矩陣乘法（ij,jk->ik）。

4.數學表達式示例

向量點積：$vi w^i$ 等價于 $sum{i=1}^n v_i w_i$。
矩陣乘法：$C{ik} = A{ij} B{jk}$（隱式求和j），展開後為 $C{ik} = sumj A{ij} B_{jk}$ 。

5.注意事項

非指數含義：上标通常表示坐标維度而非幂次，如$x, x$對應直角坐标系的x、y軸。
靈活性：其本質是求和規則，不限定具體運算類型（如内積、外積），需通過指标組合定義具體操作。

如需進一步了解編程實現（如NumPy的einsum函數），可參考來源；數學原理詳見來源。