英语翻译：

【计】 equivalent matrix

相关词条：

1.equivalentmatrice  

分词翻译：

等价的英语翻译：

equal in value; equipollence; equivalence
【计】 equifinality; equivalence
【医】 equivalence

矩阵的英语翻译：

matrix
【计】 matrix
【化】 matrix
【经】 matrices; matrix

专业解析

在数学的线性代数领域中，等价矩阵（英文：equivalent matrices）指两个具有相同维度的矩阵，若存在可逆矩阵$P$和$Q$使得$PAQ = B$成立，则称矩阵$A$与矩阵$B$为等价矩阵。这一关系满足以下核心特性：

1. 初等变换等价性

   等价矩阵可通过有限次初等行变换或列变换相互转化，例如交换两行、某行乘以非零常数、或某行加减另一行的倍数。此性质在矩阵简化（如行阶梯形）中具有实际应用价值。

2. 秩的一致性

   两个矩阵等价的重要判定条件是其秩（rank）相等。例如，若$A$和$B$均为$m times n$矩阵且$rank(A)=rank(B)$，则二者必为等价矩阵。这一特性常用于解线性方程组时判断解的存在性。

3. 标准形表达

   所有等价矩阵均可通过变换转化为唯一的标准形矩阵，其形式为分块矩阵： $$ begin{pmatrix} I_r & 0 0 & 0 end{pmatrix} $$ 其中$I_r$为$r$阶单位矩阵，$r$为矩阵的秩。该定理由德国数学家Ferdinand Georg Frobenius提出。

4. 应用领域

   等价矩阵概念广泛应用于计算机图形学的坐标变换、通信系统的编码解码设计，以及经济学中投入产出模型的简化分析。

网络扩展解释

等价矩阵是线性代数中的一个重要概念，指两个矩阵可以通过初等变换相互转化的关系。具体定义和性质如下：

定义

若存在可逆矩阵 ( P ) 和 ( Q )，使得 ( B = PAQ )，则称矩阵 ( A ) 和 ( B ) 是等价的。这里的初等变换包括：

1. 行变换：交换两行、某行乘以非零常数、某行加上另一行的倍数
2. 列变换：交换两列、某列乘以非零常数、某列加上另一列的倍数

核心性质

1. 秩相同：等价矩阵的秩一定相等（秩是矩阵行/列向量组的极大无关组个数）。
2. 标准形唯一性：任何矩阵都等价于一个分块矩阵 (begin{pmatrix} I_r & 00 & 0 end{pmatrix})，其中 ( r ) 是秩，( I_r ) 是 ( r ) 阶单位矩阵。
3. 传递性：若 ( A ) 等价于 ( B )，( B ) 等价于 ( C )，则 ( A ) 等价于 ( C )。

与相似/合同矩阵的区别

• 相似矩阵：需满足 ( B = P^{-1}AP )（保持特征值、行列式、迹等不变）
• 合同矩阵：需满足 ( B = P^TAP )（保持对称性和二次型性质）
• 等价矩阵：条件更宽泛，只要求秩相同。

应用场景

1. 解线性方程组时，通过初等变换将增广矩阵化为行阶梯形。
2. 分析矩阵的秩时，可通过等价标准形快速判断。

例如，矩阵 ( A = begin{pmatrix} 1 & 23 & 4 end{pmatrix} ) 和 ( B = begin{pmatrix} 1 & 00 & -2 end{pmatrix} ) 是等价的，因为两者秩均为2，且可通过初等变换相互转化。

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