英語翻譯：

【計】 equivalent matrix

相關詞條：

1.equivalentmatrice  

分詞翻譯：

等價的英語翻譯：

equal in value; equipollence; equivalence
【計】 equifinality; equivalence
【醫】 equivalence

矩陣的英語翻譯：

matrix
【計】 matrix
【化】 matrix
【經】 matrices; matrix

專業解析

在數學的線性代數領域中，等價矩陣（英文：equivalent matrices）指兩個具有相同維度的矩陣，若存在可逆矩陣$P$和$Q$使得$PAQ = B$成立，則稱矩陣$A$與矩陣$B$為等價矩陣。這一關系滿足以下核心特性：

1. 初等變換等價性

   等價矩陣可通過有限次初等行變換或列變換相互轉化，例如交換兩行、某行乘以非零常數、或某行加減另一行的倍數。此性質在矩陣簡化（如行階梯形）中具有實際應用價值。

2. 秩的一緻性

   兩個矩陣等價的重要判定條件是其秩（rank）相等。例如，若$A$和$B$均為$m times n$矩陣且$rank(A)=rank(B)$，則二者必為等價矩陣。這一特性常用于解線性方程組時判斷解的存在性。

3. 标準形表達

   所有等價矩陣均可通過變換轉化為唯一的标準形矩陣，其形式為分塊矩陣： $$ begin{pmatrix} I_r & 0 0 & 0 end{pmatrix} $$ 其中$I_r$為$r$階單位矩陣，$r$為矩陣的秩。該定理由德國數學家Ferdinand Georg Frobenius提出。

4. 應用領域

   等價矩陣概念廣泛應用于計算機圖形學的坐标變換、通信系統的編碼解碼設計，以及經濟學中投入産出模型的簡化分析。

網絡擴展解釋

等價矩陣是線性代數中的一個重要概念，指兩個矩陣可以通過初等變換相互轉化的關系。具體定義和性質如下：

定義

若存在可逆矩陣 ( P ) 和 ( Q )，使得 ( B = PAQ )，則稱矩陣 ( A ) 和 ( B ) 是等價的。這裡的初等變換包括：

1. 行變換：交換兩行、某行乘以非零常數、某行加上另一行的倍數
2. 列變換：交換兩列、某列乘以非零常數、某列加上另一列的倍數

核心性質

1. 秩相同：等價矩陣的秩一定相等（秩是矩陣行/列向量組的極大無關組個數）。
2. 标準形唯一性：任何矩陣都等價于一個分塊矩陣 (begin{pmatrix} I_r & 00 & 0 end{pmatrix})，其中 ( r ) 是秩，( I_r ) 是 ( r ) 階單位矩陣。
3. 傳遞性：若 ( A ) 等價于 ( B )，( B ) 等價于 ( C )，則 ( A ) 等價于 ( C )。

與相似/合同矩陣的區别

• 相似矩陣：需滿足 ( B = P^{-1}AP )（保持特征值、行列式、迹等不變）
• 合同矩陣：需滿足 ( B = P^TAP )（保持對稱性和二次型性質）
• 等價矩陣：條件更寬泛，隻要求秩相同。

應用場景

1. 解線性方程組時，通過初等變換将增廣矩陣化為行階梯形。
2. 分析矩陣的秩時，可通過等價标準形快速判斷。

例如，矩陣 ( A = begin{pmatrix} 1 & 23 & 4 end{pmatrix} ) 和 ( B = begin{pmatrix} 1 & 00 & -2 end{pmatrix} ) 是等價的，因為兩者秩均為2，且可通過初等變換相互轉化。

分類

ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ

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