单位函数英文解释翻译、单位函数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 unit function

分词翻译：

单位的英语翻译：

monad; unit
【计】 units
【化】 unit
【医】 U.; unit
【经】 unit

函数的英语翻译：

function
【计】 F; FUNC; function

专业解析

单位函数（Unit Function）是数学与工程学中的基础概念，在不同语境下具有特定定义。根据汉英对照词典释义，其英文对应为“Unit Function”，通常指满足特定归一化条件的函数，常用于信号处理、控制理论及概率论等领域。

一、定义与基本概念

单位函数的广义定义是：在某一区间或点上取值为1，其余区域为0的函数。例如：

• 单位阶跃函数（Unit Step Function）：

  $$H(x) = begin{cases} 0 & x < 0

  1 & x geq 0 end{cases}$$

  该函数用于描述系统的突然启动行为（来源：Springer数学百科）。

• 单位冲激函数（Unit Impulse Function）：

  $$delta(x) = begin{cases} +infty & x = 0

  0 & x eq 0 end{cases}$$

  满足积分条件：$int_{-infty}^{infty} delta(x)dx = 1$，常见于信号采样分析（来源：IEEE信号处理标准术语库）。

二、应用领域

1. 信号处理：单位冲激函数用于构建线性时不变系统的脉冲响应模型（来源：MIT开放课程EEG.120）。
2. 概率论：单位函数可作为概率密度函数的归一化约束条件，例如狄拉克δ函数描述离散概率分布（来源：《概率论与数理统计》高等教育出版社）。
3. 电路分析：单位阶跃函数模拟开关闭合后的电压变化过程（来源：IEEE电路与系统期刊）。

三、数学性质

单位函数的核心特性为归一化，即满足积分或求和结果为1，例如：

$$sum{k=-infty}^{infty} delta[k] = 1 quad text{或} quad int{-infty}^{infty} delta(t)dt = 1$$

这一性质使其成为系统建模的理想工具（来源：Wolfram MathWorld数学知识库）。

网络扩展解释

“单位函数”在不同学科中有不同含义，但最常见的解释是数学和工程中的单位阶跃函数（Unit Step Function），也称为赫维赛德阶跃函数。以下是详细解释：

1. 定义与符号

• 连续形式：通常用符号 ( u(t) ) 或 ( H(t) ) 表示，定义为： $$ u(t) = begin{cases} 0 & text{当 } t < 0 1 & text{当 } t geq 0 end{cases} $$ 它表示在 ( t=0 ) 处从0突变为1的阶跃信号。

• 离散形式：在离散时间系统中，单位阶跃序列表示为 ( u[n] )，定义为： $$ u[n] = begin{cases} 0 & text{当 } n < 0 1 & text{当 } n geq 0 end{cases} $$

2. 应用领域

• 信号与系统：用于描述信号的突然启动或终止，例如电路中的开关行为。
• 控制理论：作为系统响应分析的输入信号。
• 积分与微分：常与其他函数结合使用，如通过阶跃函数定义分段函数。

3. 相关概念

• 单位冲激函数（狄拉克δ函数）：是单位阶跃函数的导数，满足 ( delta(t) = frac{du(t)}{dt} )。
• 拉普拉斯变换：连续单位阶跃函数的拉普拉斯变换为 ( frac{1}{s} )。

4. 其他可能的含义

在某些文献中，“单位函数”也可能指：

1. 恒等函数：即 ( f(x) = x )，但此用法较少见。
2. 归一化函数：将函数值缩放到单位区间（如概率中的归一化处理）。

如果需要进一步了解数学公式或具体应用场景，可以参考信号处理或工程数学相关教材。

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