代数函数英文解释翻译、代数函数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【机】 algebraic function

分词翻译：

代的英语翻译：

era; generation; take the place of
【电】 generation

数的英语翻译：

a few; count; enumerate; fate; frequently; list; number; numeral; numeric
reckon; repeatedly; serveral
【计】 crossing number; N
【医】 number
【经】 number

函数的英语翻译：

function
【计】 F; FUNC; function

专业解析

代数函数（Algebraic Function）是指由有限次代数运算（加、减、乘、除、乘方、开方）作用于变量所构成的函数。其核心特征在于函数关系可以通过一个多项式方程来定义。

以下是从汉英词典角度对其含义的详细解释：

数学定义与核心特征 (Mathematical Definition & Core Characteristics)
- 一个函数 ( y = f(x) ) 被称为代数函数，如果存在一个非零多项式 ( P(x, y) )（其系数通常为有理数或实数），使得对于函数定义域内的所有 ( x )，都有 ( P(x, f(x)) = 0 ) 成立。这意味着函数值 ( y ) 和自变量 ( x ) 满足一个多项式方程。
- 代数运算构成 (Formed by Algebraic Operations): 代数函数显式表达式由变量通过有限次加、减、乘、除、乘方（指数为有理数）和开方（根式）运算组合而成。
- 示例 (Examples):
  - 多项式函数： ( f(x) = 3x - 2x + 1 ) （显式，满足 ( y - (3x - 2x + 1) = 0 )）
  - 有理函数： ( f(x) = frac{x+1}{x-1} ) （显式，满足 ( y(x-1) - (x+1) = 0 )）
  - 根式函数： ( f(x) = sqrt{x} ) （显式，满足 ( y - x = 0 )）， ( f(x) = sqrt{x + 1} ) （显式，满足 ( y - (x + 1) = 0 )）
  - 隐式定义的函数：由方程 ( x + y - 3xy = 0 ) 确定的函数（需解出 ( y ) 关于 ( x ) 的表达式或关系）。
与超越函数的区别 (Distinction from Transcendental Functions)
- 代数函数是函数的一个重要类别，与其相对的是超越函数 (Transcendental Functions)。
- 超越函数不满足任何有限次多项式方程。常见的超越函数包括：
  - 指数函数 (Exponential Functions)：如 ( e^x, a^x )
  - 对数函数 (Logarithmic Functions)：如 ( ln x, log_a x )
  - 三角函数 (Trigonometric Functions)：如 ( sin x, cos x, tan x )
  - 反三角函数 (Inverse Trigonometric Functions)：如 ( arcsin x, arccos x )
- 判断一个函数是代数还是超越，关键在于它能否被一个多项式方程所定义。例如， ( y = sin x ) 无法通过有限次代数运算用 ( x ) 表示，也不满足任何非平凡的多项式方程 ( P(x, y) = 0 )（对于所有 ( x ) 成立），因此是超越函数。
应用与重要性 (Applications and Importance)
- 代数函数是初等代数和微积分的基础研究对象之一。
- 它们在数学的许多分支（如代数几何、数论）以及物理学、工程学和经济学等应用科学中广泛出现。
- 多项式函数和有理函数在数值计算、插值、逼近理论中扮演核心角色。
- 理解代数函数的性质（如连续性、可微性、根的存在性）对于解决实际问题至关重要。

参考来源 (Reference Sources):

《数学百科全书》(Encyclopedia of Mathematics) - 代数函数词条 (由欧洲数学学会维护的权威在线数学百科全书)。
Weisstein, Eric W. "Algebraic Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. (Wolfram Research 提供的知名数学资源网站)。
《牛津数学词典》(Oxford Concise Dictionary of Mathematics) - 代数函数定义。
Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. (广泛使用的微积分教材，清晰区分代数函数与超越函数)。

网络扩展解释

代数函数是数学中的一类重要函数，其核心特征是由多项式方程定义的变量间关系。以下是详细解释：

定义与形式

代数函数满足以下条件：存在一个关于(x)和(y)的多项式方程
$$ P(x, y) = an(x)y^n + a{n-1}(x)y^{n-1} + cdots + a_1(x)y + a_0(x) = 0, $$
其中(a_i(x))是(x)的多项式。通过解此方程，(y)可表示为(x)的函数（可能是显式或隐式，甚至多值）。

典型例子

多项式函数
如(y = 2x - x + 1)，直接由多项式定义。
有理函数
如(y = frac{x + 1}{x - 3})，可转化为多项式方程((x - 3)y = x + 1)。
根式函数
如(y = sqrt{x})，对应方程(y - x = 0)。
隐式定义函数
如圆的方程(x + y = 4)，解出(y = pm sqrt{4 - x})（多值函数）。

与非代数函数（超越函数）的区别

代数函数与超越函数（如指数函数、对数函数、三角函数等）的关键区别在于后者无法用有限次多项式方程表示。例如：

(y = e^x)（超越）：无法通过多项式方程定义。
(y = sin x)（超越）：需无限级数展开，不满足代数定义。

性质与应用

连续性：在定义域内通常连续（除分母为零等特殊情况）。
可微性：多数情况下可微（隐函数定理支持）。
几何意义：代数函数常描述几何曲线（如抛物线、椭圆）。
工程与物理：用于建模多项式关系的问题（如运动学、电路分析）。

若需进一步了解具体应用或更严格的数学定义，建议参考代数或数学分析教材。