代數函數英文解釋翻譯、代數函數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【機】 algebraic function

分詞翻譯：

代的英語翻譯：

era; generation; take the place of
【電】 generation

數的英語翻譯：

a few; count; enumerate; fate; frequently; list; number; numeral; numeric
reckon; repeatedly; serveral
【計】 crossing number; N
【醫】 number
【經】 number

函數的英語翻譯：

function
【計】 F; FUNC; function

專業解析

代數函數（Algebraic Function）是指由有限次代數運算（加、減、乘、除、乘方、開方）作用于變量所構成的函數。其核心特征在于函數關系可以通過一個多項式方程來定義。

以下是從漢英詞典角度對其含義的詳細解釋：

數學定義與核心特征 (Mathematical Definition & Core Characteristics)
- 一個函數 ( y = f(x) ) 被稱為代數函數，如果存在一個非零多項式 ( P(x, y) )（其系數通常為有理數或實數），使得對于函數定義域内的所有 ( x )，都有 ( P(x, f(x)) = 0 ) 成立。這意味着函數值 ( y ) 和自變量 ( x ) 滿足一個多項式方程。
- 代數運算構成 (Formed by Algebraic Operations): 代數函數顯式表達式由變量通過有限次加、減、乘、除、乘方（指數為有理數）和開方（根式）運算組合而成。
- 示例 (Examples):
  - 多項式函數： ( f(x) = 3x - 2x + 1 ) （顯式，滿足 ( y - (3x - 2x + 1) = 0 )）
  - 有理函數： ( f(x) = frac{x+1}{x-1} ) （顯式，滿足 ( y(x-1) - (x+1) = 0 )）
  - 根式函數： ( f(x) = sqrt{x} ) （顯式，滿足 ( y - x = 0 )）， ( f(x) = sqrt{x + 1} ) （顯式，滿足 ( y - (x + 1) = 0 )）
  - 隱式定義的函數：由方程 ( x + y - 3xy = 0 ) 确定的函數（需解出 ( y ) 關于 ( x ) 的表達式或關系）。
與超越函數的區别 (Distinction from Transcendental Functions)
- 代數函數是函數的一個重要類别，與其相對的是超越函數 (Transcendental Functions)。
- 超越函數不滿足任何有限次多項式方程。常見的超越函數包括：
  - 指數函數 (Exponential Functions)：如 ( e^x, a^x )
  - 對數函數 (Logarithmic Functions)：如 ( ln x, log_a x )
  - 三角函數 (Trigonometric Functions)：如 ( sin x, cos x, tan x )
  - 反三角函數 (Inverse Trigonometric Functions)：如 ( arcsin x, arccos x )
- 判斷一個函數是代數還是超越，關鍵在于它能否被一個多項式方程所定義。例如， ( y = sin x ) 無法通過有限次代數運算用 ( x ) 表示，也不滿足任何非平凡的多項式方程 ( P(x, y) = 0 )（對于所有 ( x ) 成立），因此是超越函數。
應用與重要性 (Applications and Importance)
- 代數函數是初等代數和微積分的基礎研究對象之一。
- 它們在數學的許多分支（如代數幾何、數論）以及物理學、工程學和經濟學等應用科學中廣泛出現。
- 多項式函數和有理函數在數值計算、插值、逼近理論中扮演核心角色。
- 理解代數函數的性質（如連續性、可微性、根的存在性）對于解決實際問題至關重要。

參考來源 (Reference Sources):

《數學百科全書》(Encyclopedia of Mathematics) - 代數函數詞條 (由歐洲數學學會維護的權威線上數學百科全書)。
Weisstein, Eric W. "Algebraic Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. (Wolfram Research 提供的知名數學資源網站)。
《牛津數學詞典》(Oxford Concise Dictionary of Mathematics) - 代數函數定義。
Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. (廣泛使用的微積分教材，清晰區分代數函數與超越函數)。

網絡擴展解釋

代數函數是數學中的一類重要函數，其核心特征是由多項式方程定義的變量間關系。以下是詳細解釋：

定義與形式

代數函數滿足以下條件：存在一個關于(x)和(y)的多項式方程
$$ P(x, y) = an(x)y^n + a{n-1}(x)y^{n-1} + cdots + a_1(x)y + a_0(x) = 0, $$
其中(a_i(x))是(x)的多項式。通過解此方程，(y)可表示為(x)的函數（可能是顯式或隱式，甚至多值）。

典型例子

多項式函數
如(y = 2x - x + 1)，直接由多項式定義。
有理函數
如(y = frac{x + 1}{x - 3})，可轉化為多項式方程((x - 3)y = x + 1)。
根式函數
如(y = sqrt{x})，對應方程(y - x = 0)。
隱式定義函數
如圓的方程(x + y = 4)，解出(y = pm sqrt{4 - x})（多值函數）。

與非代數函數（超越函數）的區别

代數函數與超越函數（如指數函數、對數函數、三角函數等）的關鍵區别在于後者無法用有限次多項式方程表示。例如：

(y = e^x)（超越）：無法通過多項式方程定義。
(y = sin x)（超越）：需無限級數展開，不滿足代數定義。

性質與應用

連續性：在定義域内通常連續（除分母為零等特殊情況）。
可微性：多數情況下可微（隱函數定理支持）。
幾何意義：代數函數常描述幾何曲線（如抛物線、橢圓）。
工程與物理：用于建模多項式關系的問題（如運動學、電路分析）。

若需進一步了解具體應用或更嚴格的數學定義，建議參考代數或數學分析教材。