单步法英文解释翻译、单步法的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 one-step method; single step method

分词翻译：

单的英语翻译：

odd; single
【医】 azygos; mon-; mono-; uni-

步法的英语翻译：

footwork; gait; pace

专业解析

在汉英词典及计算数学领域，“单步法”对应的英文术语是Single-step method。它指的是一类用于求解常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）初值问题的数值积分方法。其核心特征在于计算下一个离散点上的解值 ( y_{n+1} ) 时，仅依赖于当前步的信息 ( (x_n, y_n) ) 和步长 ( h )，而不需要利用更早之前步骤（如 ( y{n-1}, y{n-2} ) 等）的解值。

核心原理与数学表述

单步法的通用形式可以表示为： $$ y_{n+1} = y_n + h Phi(x_n, y_n, h) $$ 其中：

( y_n ) 是在点 ( x_n ) 处的近似解。
( h ) 是步长（( h = x_{n+1} - x_n )）。
( Phi(x_n, y_n, h) ) 是一个增量函数，它定义了从 ( (x_n, yn) ) 前进到 ( (x{n+1}, y_{n+1}) ) 的方式。这个函数的具体形式决定了不同的单步方法。

该方法的核心思想是利用当前已知点 ( (x_n, yn) ) 的信息（如导数值或导数值的组合）来估计解在下一步 ( x{n+1} ) 处的值。

典型代表方法

欧拉法 (Euler Method)：
- 最简单的单步法，增量函数直接取当前点的导数值：( Phi(x_n, y_n, h) = f(x_n, yn) )。公式为： $$ y{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n) $$
- 计算量小但精度较低，常用于概念说明或对精度要求不高的场合。
龙格-库塔法 (Runge-Kutta Methods)：
- 通过在当前步内计算多个不同位置的导数值（斜率），并进行加权平均来构造增量函数 ( Phi )，以此获得比欧拉法更高的精度，而无需计算高阶导数或存储历史解值。
- 经典四阶龙格-库塔法 (RK4) 是最著名且广泛使用的单步法之一，其增量函数涉及计算四个斜率值（( k_1, k_2, k_3, k_4 )）： $$ begin{align} k_1 &= f(x_n, y_n) k_2 &= f(x_n + frac{h}{2}, y_n + frac{h}{2} k_1) k_3 &= f(x_n + frac{h}{2}, y_n + frac{h}{2} k_2) k_4 &= f(x_n + h, y_n + h k3) y{n+1} &= y_n + frac{h}{6} (k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4) end{align} $$
- RK4 具有四阶精度，在计算复杂度和精度之间取得了良好平衡，是求解非刚性ODE的常用选择。

主要特点与应用

自启动性 (Self-starting)：由于仅需初始条件 ( (x_0, y_0) ) 即可开始计算，单步法易于启动，不需要特殊的启动过程。
变步长灵活性：在计算过程中改变步长 ( h ) 相对容易，便于实现自适应步长控制策略以提高效率和精度（尤其在RK方法中）。
应用广泛：适用于求解各种科学与工程问题中的常微分方程初值问题，是数值分析软件库（如 MATLAB 的 ode45 主要基于显式 Runge-Kutta 方法）的基础算法之一。
对比多步法：与多步法（如 Adams 方法）相比，单步法通常计算量略大（如 RK4 每步需多次计算函数 ( f )），但因其自启动性和变步长便利性，在通用ODE求解器中占据重要地位。

来源参考：

Burden, R. L., & Faires, J. D. Numerical Analysis (权威数值分析教材，详细阐述单步法原理与算法)。
《英汉计算数学词汇》等相关专业词典（提供术语“单步法”与“Single-step method”的标准对应）。
Press, W. H., et al. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (经典参考书，讨论各类数值方法包括单步法的实现与应用)。
Ascher, U. M., & Petzold, L. R. Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations (专业著作，深入探讨ODE求解方法)。

网络扩展解释

“单步法”是数值计算中用于求解常微分方程（ODE）的一种方法，其核心特点是仅利用当前步骤的信息（如当前时刻的解和导数）来计算下一步的数值解。以下是详细解释：

1.基本定义

单步法在计算 ( y_{n+1} )（下一时刻的解）时，仅依赖当前时刻 ( t_n ) 的解 ( y_n ) 和该点的导数值，无需历史更早时刻的数据。其一般形式可表示为： $$ y_{n+1} = y_n + h cdot Phi(t_n, y_n, h) $$ 其中 ( h ) 为步长，( Phi ) 是增量函数，由具体方法决定。

2.典型方法

欧拉法（Euler Method）
最简单的单步法，公式为： $$ y_{n+1} = y_n + h cdot f(t_n, y_n) $$ 直接使用当前点的斜率 ( f(t_n, y_n) ) 进行线性外推。
龙格-库塔法（Runge-Kutta Methods）
通过加权平均多个中间斜率提高精度。例如四阶龙格-库塔法（RK4）： $$ begin{aligned} k_1 &= h cdot f(t_n, y_n), k_2 &= h cdot f(t_n + frac{h}{2}, y_n + frac{k_1}{2}), k_3 &= h cdot f(t_n + frac{h}{2}, y_n + frac{k_2}{2}), k_4 &= h cdot f(t_n + h, y_n + k3), y{n+1} &= y_n + frac{1}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4). end{aligned} $$

3.优缺点

优点：
- 实现简单，仅需当前信息，内存占用低；
- 自适应步长调整较容易（如变步长龙格-库塔法）。
缺点：
- 高阶精度方法（如RK4）计算量较大；
- 相比多步法，在相同精度下可能需要更小的步长。

4.应用场景

对计算资源有限或需要实时计算的场景（如嵌入式系统）；
初值问题求解，尤其是非刚性方程；
需要动态调整步长的复杂问题（如天体轨道模拟）。

5.与多步法的对比

多步法（如Adams-Bashforth）需依赖前几步的多个解，虽可提高效率但启动时需借助单步法生成初始值，且步长固定时灵活性较低。

通过上述分析可见，单步法在简单性、灵活性和内存效率上具有优势，但需权衡计算成本与精度需求。