單步法英文解釋翻譯、單步法的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 one-step method; single step method

分詞翻譯：

單的英語翻譯：

odd; single
【醫】 azygos; mon-; mono-; uni-

步法的英語翻譯：

footwork; gait; pace

專業解析

在漢英詞典及計算數學領域，“單步法”對應的英文術語是Single-step method。它指的是一類用于求解常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）初值問題的數值積分方法。其核心特征在于計算下一個離散點上的解值 ( y_{n+1} ) 時，僅依賴于當前步的信息 ( (x_n, y_n) ) 和步長 ( h )，而不需要利用更早之前步驟（如 ( y{n-1}, y{n-2} ) 等）的解值。

核心原理與數學表述

單步法的通用形式可以表示為： $$ y_{n+1} = y_n + h Phi(x_n, y_n, h) $$ 其中：

( y_n ) 是在點 ( x_n ) 處的近似解。
( h ) 是步長（( h = x_{n+1} - x_n )）。
( Phi(x_n, y_n, h) ) 是一個增量函數，它定義了從 ( (x_n, yn) ) 前進到 ( (x{n+1}, y_{n+1}) ) 的方式。這個函數的具體形式決定了不同的單步方法。

該方法的核心思想是利用當前已知點 ( (x_n, yn) ) 的信息（如導數值或導數值的組合）來估計解在下一步 ( x{n+1} ) 處的值。

典型代表方法

歐拉法 (Euler Method)：
- 最簡單的單步法，增量函數直接取當前點的導數值：( Phi(x_n, y_n, h) = f(x_n, yn) )。公式為： $$ y{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n) $$
- 計算量小但精度較低，常用于概念說明或對精度要求不高的場合。
龍格-庫塔法 (Runge-Kutta Methods)：
- 通過在當前步内計算多個不同位置的導數值（斜率），并進行加權平均來構造增量函數 ( Phi )，以此獲得比歐拉法更高的精度，而無需計算高階導數或存儲曆史解值。
- 經典四階龍格-庫塔法 (RK4) 是最著名且廣泛使用的單步法之一，其增量函數涉及計算四個斜率值（( k_1, k_2, k_3, k_4 )）： $$ begin{align} k_1 &= f(x_n, y_n) k_2 &= f(x_n + frac{h}{2}, y_n + frac{h}{2} k_1) k_3 &= f(x_n + frac{h}{2}, y_n + frac{h}{2} k_2) k_4 &= f(x_n + h, y_n + h k3) y{n+1} &= y_n + frac{h}{6} (k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4) end{align} $$
- RK4 具有四階精度，在計算複雜度和精度之間取得了良好平衡，是求解非剛性ODE的常用選擇。

主要特點與應用

自啟動性 (Self-starting)：由于僅需初始條件 ( (x_0, y_0) ) 即可開始計算，單步法易于啟動，不需要特殊的啟動過程。
變步長靈活性：在計算過程中改變步長 ( h ) 相對容易，便于實現自適應步長控制策略以提高效率和精度（尤其在RK方法中）。
應用廣泛：適用于求解各種科學與工程問題中的常微分方程初值問題，是數值分析軟件庫（如 MATLAB 的 ode45 主要基于顯式 Runge-Kutta 方法）的基礎算法之一。
對比多步法：與多步法（如 Adams 方法）相比，單步法通常計算量略大（如 RK4 每步需多次計算函數 ( f )），但因其自啟動性和變步長便利性，在通用ODE求解器中占據重要地位。

來源參考：

Burden, R. L., & Faires, J. D. Numerical Analysis (權威數值分析教材，詳細闡述單步法原理與算法)。
《英漢計算數學詞彙》等相關專業詞典（提供術語“單步法”與“Single-step method”的标準對應）。
Press, W. H., et al. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (經典參考書，讨論各類數值方法包括單步法的實現與應用)。
Ascher, U. M., & Petzold, L. R. Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations (專業著作，深入探讨ODE求解方法)。

網絡擴展解釋

“單步法”是數值計算中用于求解常微分方程（ODE）的一種方法，其核心特點是僅利用當前步驟的信息（如當前時刻的解和導數）來計算下一步的數值解。以下是詳細解釋：

1.基本定義

單步法在計算 ( y_{n+1} )（下一時刻的解）時，僅依賴當前時刻 ( t_n ) 的解 ( y_n ) 和該點的導數值，無需曆史更早時刻的數據。其一般形式可表示為： $$ y_{n+1} = y_n + h cdot Phi(t_n, y_n, h) $$ 其中 ( h ) 為步長，( Phi ) 是增量函數，由具體方法決定。

2.典型方法

歐拉法（Euler Method）
最簡單的單步法，公式為： $$ y_{n+1} = y_n + h cdot f(t_n, y_n) $$ 直接使用當前點的斜率 ( f(t_n, y_n) ) 進行線性外推。
龍格-庫塔法（Runge-Kutta Methods）
通過加權平均多個中間斜率提高精度。例如四階龍格-庫塔法（RK4）： $$ begin{aligned} k_1 &= h cdot f(t_n, y_n), k_2 &= h cdot f(t_n + frac{h}{2}, y_n + frac{k_1}{2}), k_3 &= h cdot f(t_n + frac{h}{2}, y_n + frac{k_2}{2}), k_4 &= h cdot f(t_n + h, y_n + k3), y{n+1} &= y_n + frac{1}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4). end{aligned} $$

3.優缺點

優點：
- 實現簡單，僅需當前信息，内存占用低；
- 自適應步長調整較容易（如變步長龍格-庫塔法）。
缺點：
- 高階精度方法（如RK4）計算量較大；
- 相比多步法，在相同精度下可能需要更小的步長。

4.應用場景

對計算資源有限或需要實時計算的場景（如嵌入式系統）；
初值問題求解，尤其是非剛性方程；
需要動态調整步長的複雜問題（如天體軌道模拟）。

5.與多步法的對比

多步法（如Adams-Bashforth）需依賴前幾步的多個解，雖可提高效率但啟動時需借助單步法生成初始值，且步長固定時靈活性較低。

通過上述分析可見，單步法在簡單性、靈活性和内存效率上具有優勢，但需權衡計算成本與精度需求。