二次域英文解释翻译、二次域的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 quadratic field

分词翻译：

二的英语翻译：

twin; two
【计】 binary-coded decimal; binary-coded decimal character code
binary-to-decimal conversion; binary-to-hexadecimal conversion
【医】 bi-; bis-; di-; duo-

次的英语翻译：

order; second; second-rate
【医】 deutero-; deuto-; hyp-; hypo-; meta-; sub-

域的英语翻译：

field; region; territory
【计】 D; domain; field; saved area
【化】 domain

专业解析

二次域（quadratic field）是代数数论中一类重要的代数数域，指有理数域ℚ通过添加二次根式生成的扩域。其标准数学定义为：设d为无平方因子的整数，则二次域可表示为ℚ(√d) = {a + b√d | a, b ∈ ℚ}。根据d的正负性可分为实二次域（d>0）和虚二次域（d<0）两类。

在域结构特征方面，二次域的判别式Δ可表示为： $$ Δ = begin{cases} d & text{当 } d equiv 1 mod 4 4d & text{当 } d equiv 2,3 mod 4 end{cases} $$ 这个关键参数决定了域的整体算术性质，特别是在理想类群结构和单位群结构中的表现。

二次整数环（ring of integers）作为其核心研究对象，具有独特的代数结构。当d≡1 mod4时，整数环为ℤ[(1+√d)/2]，否则为ℤ[√d]。这一发现可追溯至19世纪Dedekind对代数整数环的奠基性研究。

类数（class number）作为衡量整数环"算术不唯一分解"程度的重要指标，在二次域中表现出特殊的规律性。高斯猜想和Stark-Heegner定理的证明显示：仅存在九个虚二次域（如ℚ(√-1)、ℚ(√-3）等）具有类数1，这一结论在代数数论发展史上具有里程碑意义。

该理论在现代密码学、椭圆曲线算法等领域有重要应用。例如基于虚二次域构造的Rabin加密系统，以及实二次域单位群在连分数算法中的核心作用，均被收录于《算法数论》等专业著作。

网络扩展解释

二次域是代数数论中的一个重要概念，指有理数域$mathbb{Q}$的二次扩域，以下是详细解释：

1.基本定义

二次域可表示为$mathbb{Q}(sqrt{d})$，其中$d$是一个无平方因子的整数（即$d$不能被任何平方数整除）。根据$d$的正负，二次域分为两类：

实二次域：当$d>0$时，例如$mathbb{Q}(sqrt{2})$；
虚二次域：当$d<0$时，例如$mathbb{Q}(sqrt{-1})$或$mathbb{Q}(sqrt{-5})$。

2.整数环结构

二次域中的代数整数构成一个整数环，其形式取决于$d$的取值：

若$d equiv 1 pmod{4}$，整数环为$mathbb{Z}left[frac{1+sqrt{d}}{2}right]$；
否则为$mathbb{Z}[sqrt{d}]$。
例如，$mathbb{Q}(sqrt{-5})$的整数环是$mathbb{Z}[sqrt{-5}]$，而$mathbb{Q}(sqrt{5})$的整数环是$mathbb{Z}left[frac{1+sqrt{5}}{2}right]$。

3.判别式与性质

二次域的判别式$Delta$用于描述其算术性质： $$ Delta = begin{cases} d & text{若 } d equiv 1 pmod{4}, 4d & text{其他情况}. end{cases} $$ 判别式与整数环的理想类群、单位群等结构密切相关。

4.研究意义

二次域是代数数论中最简单的非平凡数域，其研究涉及：

类数问题：虚二次域的类数有限且可计算，但实二次域的类数仍有未解猜想；
应用：如高斯的二平方和定理与虚二次域$mathbb{Q}(sqrt{-1})$密切相关。

5.示例

$mathbb{Q}(sqrt{3})$是实二次域，整数环为$mathbb{Z}[sqrt{3}]$；
$mathbb{Q}(sqrt{-2})$是虚二次域，整数环为$mathbb{Z}[sqrt{-2}]$。

通过以上分析，二次域不仅提供了研究数域的基础模型，还与许多经典数论问题紧密关联。更多细节可参考代数数论相关文献或百科资料。