二次域英文解釋翻譯、二次域的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 quadratic field

分詞翻譯：

二的英語翻譯：

twin; two
【計】 binary-coded decimal; binary-coded decimal character code
binary-to-decimal conversion; binary-to-hexadecimal conversion
【醫】 bi-; bis-; di-; duo-

次的英語翻譯：

order; second; second-rate
【醫】 deutero-; deuto-; hyp-; hypo-; meta-; sub-

域的英語翻譯：

field; region; territory
【計】 D; domain; field; saved area
【化】 domain

專業解析

二次域（quadratic field）是代數數論中一類重要的代數數域，指有理數域ℚ通過添加二次根式生成的擴域。其标準數學定義為：設d為無平方因子的整數，則二次域可表示為ℚ(√d) = {a + b√d | a, b ∈ ℚ}。根據d的正負性可分為實二次域（d>0）和虛二次域（d<0）兩類。

在域結構特征方面，二次域的判别式Δ可表示為： $$ Δ = begin{cases} d & text{當 } d equiv 1 mod 4 4d & text{當 } d equiv 2,3 mod 4 end{cases} $$ 這個關鍵參數決定了域的整體算術性質，特别是在理想類群結構和單位群結構中的表現。

二次整數環（ring of integers）作為其核心研究對象，具有獨特的代數結構。當d≡1 mod4時，整數環為ℤ[(1+√d)/2]，否則為ℤ[√d]。這一發現可追溯至19世紀Dedekind對代數整數環的奠基性研究。

類數（class number）作為衡量整數環"算術不唯一分解"程度的重要指标，在二次域中表現出特殊的規律性。高斯猜想和Stark-Heegner定理的證明顯示：僅存在九個虛二次域（如ℚ(√-1)、ℚ(√-3）等）具有類數1，這一結論在代數數論發展史上具有裡程碑意義。

該理論在現代密碼學、橢圓曲線算法等領域有重要應用。例如基于虛二次域構造的Rabin加密系統，以及實二次域單位群在連分數算法中的核心作用，均被收錄于《算法數論》等專業著作。

網絡擴展解釋

二次域是代數數論中的一個重要概念，指有理數域$mathbb{Q}$的二次擴域，以下是詳細解釋：

1.基本定義

二次域可表示為$mathbb{Q}(sqrt{d})$，其中$d$是一個無平方因子的整數（即$d$不能被任何平方數整除）。根據$d$的正負，二次域分為兩類：

實二次域：當$d>0$時，例如$mathbb{Q}(sqrt{2})$；
虛二次域：當$d<0$時，例如$mathbb{Q}(sqrt{-1})$或$mathbb{Q}(sqrt{-5})$。

2.整數環結構

二次域中的代數整數構成一個整數環，其形式取決于$d$的取值：

若$d equiv 1 pmod{4}$，整數環為$mathbb{Z}left[frac{1+sqrt{d}}{2}right]$；
否則為$mathbb{Z}[sqrt{d}]$。
例如，$mathbb{Q}(sqrt{-5})$的整數環是$mathbb{Z}[sqrt{-5}]$，而$mathbb{Q}(sqrt{5})$的整數環是$mathbb{Z}left[frac{1+sqrt{5}}{2}right]$。

3.判别式與性質

二次域的判别式$Delta$用于描述其算術性質： $$ Delta = begin{cases} d & text{若 } d equiv 1 pmod{4}, 4d & text{其他情況}. end{cases} $$ 判别式與整數環的理想類群、單位群等結構密切相關。

4.研究意義

二次域是代數數論中最簡單的非平凡數域，其研究涉及：

類數問題：虛二次域的類數有限且可計算，但實二次域的類數仍有未解猜想；
應用：如高斯的二平方和定理與虛二次域$mathbb{Q}(sqrt{-1})$密切相關。

5.示例

$mathbb{Q}(sqrt{3})$是實二次域，整數環為$mathbb{Z}[sqrt{3}]$；
$mathbb{Q}(sqrt{-2})$是虛二次域，整數環為$mathbb{Z}[sqrt{-2}]$。

通過以上分析，二次域不僅提供了研究數域的基礎模型，還與許多經典數論問題緊密關聯。更多細節可參考代數數論相關文獻或百科資料。