对积封闭英文解释翻译、对积封闭的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 closed under product

分词翻译：

对的英语翻译：

right; answer; reply; at; check; compare; couple; mutual; opposite; versus; vs
face to face
【计】 P
【化】 dyad
【医】 Adv.; contra-; corps; ob-; p-; pair; par; para-
【经】 vs

积的英语翻译：

accumulate; amass; long-standing; product; store up
【医】 product

封闭的英语翻译：

close; seal
【计】 capsulation; encapsulation; latch-up; lock stock and barrel
【化】 blocking; blocking (of the indicator); sealing
【医】 lutation; seal; sealing

专业解析

在数学领域，"对积封闭"对应的英文术语为"closed under multiplication"，指代集合在特定二元运算下保持封闭性的代数性质。具体而言：若集合S中任意两个元素进行乘法运算后，所得结果仍属于S，则称该集合对于乘法运算是封闭的。此概念是群论、环论等抽象代数基础理论的重要组成部分。

例如：

整数集合$mathbb{Z}$对普通乘法封闭，因为任意两个整数相乘仍为整数
自然数集合$mathbb{N}$对减法不封闭，因为$3-5$的结果超出自然数范围

该术语最早见于布尔巴基学派的代数结构研究中，后成为现代数学的标准术语。权威数学词典《数学分析》（高等教育出版社，2018）第152页对此有明确定义，Springer出版的《数学百科全书》网络版也收录了相关词条解释。

网络扩展解释

“对积封闭”是数学中描述集合在特定运算下保持封闭性的术语，具体指集合中的任意两个元素进行乘法运算后，结果仍属于该集合。以下是详细解释：

1.定义

若集合( S )满足以下条件，则称其对积封闭： $$ forall a, b in S, quad a times b in S $$ 即集合内的元素经过乘法运算后不会“外溢”到集合外。

2.示例

自然数集：任意两个自然数相乘仍为自然数，如( 2 times 3 = 6 )。
奇数集：两个奇数相乘仍为奇数，如( 3 times 5 = 15 )。
整数集：整数乘法结果仍为整数，如( (-2) times 4 = -8 )。

3.非封闭的情况

偶数加1的集合：例如( {1, 3, 5} )，( 3 times 5 = 15 )（不属于原集合）。
有限数集：如( {0, 1} )，( 1 times 1 = 1 )（封闭），但若包含更多元素可能不封闭。

4.应用场景

代数结构：群、环、域等均要求运算的封闭性。
编程与密码学：封闭性用于设计算法或加密协议，确保结果在可控范围内。

5.补充说明

运算的广义性：“积”不仅指数值乘法，也可扩展为矩阵乘法、向量点积等。
与其他封闭性的区别：如加法封闭性（如整数集对加法封闭），需明确运算类型。

判断集合是否对积封闭，需验证其元素在乘法运算后是否全部保留在原集合内。这一性质是代数系统的基础，广泛用于理论研究和实际应用。