對積封閉英文解釋翻譯、對積封閉的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 closed under product

分詞翻譯：

對的英語翻譯：

right; answer; reply; at; check; compare; couple; mutual; opposite; versus; vs
face to face
【計】 P
【化】 dyad
【醫】 Adv.; contra-; corps; ob-; p-; pair; par; para-
【經】 vs

積的英語翻譯：

accumulate; amass; long-standing; product; store up
【醫】 product

封閉的英語翻譯：

close; seal
【計】 capsulation; encapsulation; latch-up; lock stock and barrel
【化】 blocking; blocking (of the indicator); sealing
【醫】 lutation; seal; sealing

專業解析

在數學領域，"對積封閉"對應的英文術語為"closed under multiplication"，指代集合在特定二元運算下保持封閉性的代數性質。具體而言：若集合S中任意兩個元素進行乘法運算後，所得結果仍屬于S，則稱該集合對于乘法運算是封閉的。此概念是群論、環論等抽象代數基礎理論的重要組成部分。

例如：

整數集合$mathbb{Z}$對普通乘法封閉，因為任意兩個整數相乘仍為整數
自然數集合$mathbb{N}$對減法不封閉，因為$3-5$的結果超出自然數範圍

該術語最早見于布爾巴基學派的代數結構研究中，後成為現代數學的标準術語。權威數學詞典《數學分析》（高等教育出版社，2018）第152頁對此有明确定義，Springer出版的《數學百科全書》網絡版也收錄了相關詞條解釋。

網絡擴展解釋

“對積封閉”是數學中描述集合在特定運算下保持封閉性的術語，具體指集合中的任意兩個元素進行乘法運算後，結果仍屬于該集合。以下是詳細解釋：

1.定義

若集合( S )滿足以下條件，則稱其對積封閉： $$ forall a, b in S, quad a times b in S $$ 即集合内的元素經過乘法運算後不會“外溢”到集合外。

2.示例

自然數集：任意兩個自然數相乘仍為自然數，如( 2 times 3 = 6 )。
奇數集：兩個奇數相乘仍為奇數，如( 3 times 5 = 15 )。
整數集：整數乘法結果仍為整數，如( (-2) times 4 = -8 )。

3.非封閉的情況

偶數加1的集合：例如( {1, 3, 5} )，( 3 times 5 = 15 )（不屬于原集合）。
有限數集：如( {0, 1} )，( 1 times 1 = 1 )（封閉），但若包含更多元素可能不封閉。

4.應用場景

代數結構：群、環、域等均要求運算的封閉性。
編程與密碼學：封閉性用于設計算法或加密協議，确保結果在可控範圍内。

5.補充說明

運算的廣義性：“積”不僅指數值乘法，也可擴展為矩陣乘法、向量點積等。
與其他封閉性的區别：如加法封閉性（如整數集對加法封閉），需明确運算類型。

判斷集合是否對積封閉，需驗證其元素在乘法運算後是否全部保留在原集合内。這一性質是代數系統的基礎，廣泛用于理論研究和實際應用。