度量空间英文解释翻译、度量空间的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 metric space

分词翻译：

度量的英语翻译：

magnanimity; tolerance
【计】 measurement
【医】 measure

空间的英语翻译：

airspace; interspace; space; vacuum; void
【化】 space
【医】 keno-; space

专业解析

度量空间（Metric Space）的汉英词典式解析

一、中文定义与解析

度量空间是数学中描述“距离”概念的抽象空间。其中，“度”指测量标准，“量”指量化距离。该空间的核心是定义一个满足以下条件的距离函数（度量）：

非负性：任意两点距离 ≥ 0，且等于 0 时两点重合；
对称性：点 A 到 B 的距离等于 B 到 A 的距离；
三角不等式：任意三点间距离满足“两边之和 ≥ 第三边”。

二、英文定义与词源

Metric Space（/ˈmetrɪk speɪs/）中：

Metric 源于希腊语 metron（测量），指通过距离函数量化空间结构；
Space 源自拉丁语 spatium，表示具有特定数学性质的集合。
其形式化定义为：
A set ( X ) equipped with a function ( d: X times X to mathbb{R} ) satisfying:
1. ( d(x,y) geq 0 ) and ( d(x,y)=0 iff x=y )；
2. ( d(x,y) = d(y,x) )；
3. ( d(x,z) leq d(x,y) + d(y,z) ).

三、核心要素与实例

距离函数（Metric）：如欧氏空间的标准距离 ( d(mathbf{x},mathbf{y}) = sqrt{sum (x_i-y_i)} )；
典型例子：
- 实数轴（( mathbb{R} )）以 ( d(a,b)=|a-b| ) 为度量；
- 球面通过弧长定义距离（非直线距离）。

四、权威参考来源

《数学百科全书》（Encyclopedia of Mathematics）：定义度量空间为“赋予距离结构的集合”，强调其拓扑学基础；
Wolfram MathWorld：解析度量公理及其在分析学中的应用；
《实分析》（Rudin）：经典教材阐述度量空间如何推广微积分中的极限概念。

注：以上内容综合数学基础理论，严格遵循度量空间的公理化定义与通用解释标准。

网络扩展解释

度量空间（Metric Space）是数学中的一个核心概念，用于在集合上定义“距离”，从而为分析收敛性、连续性等提供基础。以下是详细解释：

1. 基本定义

度量空间由一个集合 ( X ) 和一个距离函数 ( d: X times X to mathbb{R} ) 构成，满足以下四条公理：

非负性：( d(x,y) geq 0 )，且 ( d(x,y)=0 iff x=y )。
对称性：( d(x,y)=d(y,x) )。
三角不等式：( d(x,z) leq d(x,y)+d(y,z) )。

这些公理确保了距离的合理性和几何直观性。

2. 经典例子

欧几里得空间：( mathbb{R}^n ) 中两点间的直线距离，定义为 ( d(mathbf{x},mathbf{y})=sqrt{sum_{i=1}^n (x_i - y_i)} )。
离散度量空间：若 ( x eq y )，定义 ( d(x,y)=1 )；否则 ( d(x,y)=0 )。这种度量常用于有限集合。
函数空间：例如连续函数空间 ( C[a,b] )，定义 ( d(f,g)=max_{x in [a,b]} |f(x)-g(x)| )。

3. 核心性质

收敛性：在度量空间中，序列收敛意味着随着项数增加，距离目标点的距离趋近于零。
开集与闭集：基于距离定义开球（如 ( B_r(x)={y mid d(x,y) < r} )），进而生成拓扑结构。
完备性：若空间中所有柯西序列都收敛，则该空间是完备的（如实数空间是完备的，有理数空间不完备）。

4. 应用领域

分析学：研究函数连续性、一致收敛性等。
拓扑学：通过度量诱导拓扑，研究空间性质（如紧致性、连通性）。
数据科学：机器学习中的距离度量（如欧氏距离、曼哈顿距离）直接影响聚类、分类算法。

5. 与其他空间的关系

赋范空间：在向量空间中定义范数（类似“长度”）可自然诱导度量 ( d(x,y)=|x-y| )。
内积空间：进一步引入角度概念（如欧氏空间），满足 ( d(x,y)=sqrt{langle x-y, x-y rangle} )。

总结来看，度量空间通过抽象的距离概念统一了不同数学对象的研究，是分析学、几何学及现代应用数学的基础工具。如需更深入的内容（如具体定理证明或扩展例子），可进一步探讨。