度量空間英文解釋翻譯、度量空間的近義詞、反義詞、例句
英語翻譯:
【計】 metric space
分詞翻譯:
度量的英語翻譯:
magnanimity; tolerance
【計】 measurement
【醫】 measure
空間的英語翻譯:
airspace; interspace; space; vacuum; void
【化】 space
【醫】 keno-; space
專業解析
度量空間(Metric Space)的漢英詞典式解析
一、中文定義與解析
度量空間是數學中描述“距離”概念的抽象空間。其中,“度”指測量标準,“量”指量化距離。該空間的核心是定義一個滿足以下條件的距離函數(度量):
- 非負性:任意兩點距離 ≥ 0,且等于 0 時兩點重合;
- 對稱性:點 A 到 B 的距離等于 B 到 A 的距離;
- 三角不等式:任意三點間距離滿足“兩邊之和 ≥ 第三邊”。
二、英文定義與詞源
Metric Space(/ˈmetrɪk speɪs/)中:
- Metric 源于希臘語 metron(測量),指通過距離函數量化空間結構;
- Space 源自拉丁語 spatium,表示具有特定數學性質的集合。
其形式化定義為:
A set ( X ) equipped with a function ( d: X times X to mathbb{R} ) satisfying:
- ( d(x,y) geq 0 ) and ( d(x,y)=0 iff x=y );
- ( d(x,y) = d(y,x) );
- ( d(x,z) leq d(x,y) + d(y,z) ).
三、核心要素與實例
- 距離函數(Metric):如歐氏空間的标準距離 ( d(mathbf{x},mathbf{y}) = sqrt{sum (x_i-y_i)} );
- 典型例子:
- 實數軸(( mathbb{R} ))以 ( d(a,b)=|a-b| ) 為度量;
- 球面通過弧長定義距離(非直線距離)。
四、權威參考來源
- 《數學百科全書》(Encyclopedia of Mathematics):定義度量空間為“賦予距離結構的集合”,強調其拓撲學基礎 ;
- Wolfram MathWorld:解析度量公理及其在分析學中的應用 ;
- 《實分析》(Rudin):經典教材闡述度量空間如何推廣微積分中的極限概念 。
注:以上内容綜合數學基礎理論,嚴格遵循度量空間的公理化定義與通用解釋标準。
網絡擴展解釋
度量空間(Metric Space)是數學中的一個核心概念,用于在集合上定義“距離”,從而為分析收斂性、連續性等提供基礎。以下是詳細解釋:
1. 基本定義
度量空間由一個集合 ( X ) 和一個距離函數 ( d: X times X to mathbb{R} ) 構成,滿足以下四條公理:
- 非負性:( d(x,y) geq 0 ),且 ( d(x,y)=0 iff x=y )。
- 對稱性:( d(x,y)=d(y,x) )。
- 三角不等式:( d(x,z) leq d(x,y)+d(y,z) )。
這些公理确保了距離的合理性和幾何直觀性。
2. 經典例子
- 歐幾裡得空間:( mathbb{R}^n ) 中兩點間的直線距離,定義為 ( d(mathbf{x},mathbf{y})=sqrt{sum_{i=1}^n (x_i - y_i)} )。
- 離散度量空間:若 ( x
eq y ),定義 ( d(x,y)=1 );否則 ( d(x,y)=0 )。這種度量常用于有限集合。
- 函數空間:例如連續函數空間 ( C[a,b] ),定義 ( d(f,g)=max_{x in [a,b]} |f(x)-g(x)| )。
3. 核心性質
- 收斂性:在度量空間中,序列收斂意味着隨着項數增加,距離目标點的距離趨近于零。
- 開集與閉集:基于距離定義開球(如 ( B_r(x)={y mid d(x,y) < r} )),進而生成拓撲結構。
- 完備性:若空間中所有柯西序列都收斂,則該空間是完備的(如實數空間是完備的,有理數空間不完備)。
4. 應用領域
- 分析學:研究函數連續性、一緻收斂性等。
- 拓撲學:通過度量誘導拓撲,研究空間性質(如緊緻性、連通性)。
- 數據科學:機器學習中的距離度量(如歐氏距離、曼哈頓距離)直接影響聚類、分類算法。
5. 與其他空間的關系
- 賦範空間:在向量空間中定義範數(類似“長度”)可自然誘導度量 ( d(x,y)=|x-y| )。
- 内積空間:進一步引入角度概念(如歐氏空間),滿足 ( d(x,y)=sqrt{langle x-y, x-y rangle} )。
總結來看,度量空間通過抽象的距離概念統一了不同數學對象的研究,是分析學、幾何學及現代應用數學的基礎工具。如需更深入的内容(如具體定理證明或擴展例子),可進一步探讨。
分類
ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ
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