对偶向量英文解释翻译、对偶向量的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 dual vector

分词翻译：

对偶的英语翻译：

【计】 antithetic
【医】 allelo-

向量的英语翻译：

vector
【计】 V; vector quantity
【医】 vector; vector quantity

专业解析

在数学和物理学中，对偶向量（Dual Vector）是一个核心概念，尤其在线性代数和泛函分析中扮演重要角色。其英文对应术语为Dual Vector 或Covector。以下是详细解释：

一、基本定义

对偶向量指定义在某个向量空间 (V) 上的线性泛函（Linear Functional）。具体来说：

若 (V) 是定义在数域 (mathbb{K})（如实数域 (mathbb{R}) 或复数域 (mathbb{C})）上的向量空间，则一个对偶向量是从 (V) 到 (mathbb{K}) 的线性映射，即： [ f: V rightarrow mathbb{K}, quad f(amathbf{x} + bmathbf{y}) = a f(mathbf{x}) + b f(mathbf{y}) ] 其中 (mathbf{x}, mathbf{y} in V)，(a, b in mathbb{K})。

二、对偶空间

所有对偶向量的集合构成一个向量空间，称为对偶空间（Dual Space），记为 (V^*)：

若 (V) 是有限维空间（维度为 (n)），则 (V^*) 的维度也为 (n)。
对偶空间中的基可通过原空间基的对偶基（Dual Basis）构造。例如，若 ({mathbf{e}_1, ldots, mathbf{e}_n}) 是 (V) 的基，则对偶基 ({mathbf{e}, ldots, mathbf{e}^n}) 满足： [ mathbf{e}^i (mathbf{e}_j) = delta^i_j ] 其中 (delta^i_j) 是克罗内克函数（当 (i=j) 时为 1，否则为 0）。

三、物理与工程中的应用

张量分析
在广义相对论和连续介质力学中，对偶向量用于定义协变张量（Covariant Tensor），描述物理量在坐标变换下的行为。

量子力学
狄拉克符号中的左矢（Bra Vector）即是对偶向量，与右矢（Ket Vector）构成内积运算。

机器学习
在支持向量机（SVM）中，对偶问题转化为对偶空间中的优化，提升计算效率。

四、术语辨析

对偶向量 vs. 向量
向量属于原空间 (V)，而对偶向量属于对偶空间 (V^*)，两者通过内积或配对映射建立联系。

汉英对照
- 对偶向量：Dual Vector /Covector
- 对偶空间：Dual Space
- 线性泛函：Linear Functional

五、权威参考来源

数学教材
- Linear Algebra Done Right（Sheldon Axler）
  系统阐述对偶空间理论。
- Finite-Dimensional Vector Spaces（Paul Halmos）
  经典教材，涵盖对偶基与线性映射。
物理文献
- The Principles of Quantum Mechanics（Paul Dirac）
  引入 Bra-Ket 符号，明确对偶向量应用。
在线资源
- MIT OpenCourseWare（线性代数课程）
  提供对偶空间的公开讲义与习题解析。
- Wolfram MathWorld
  词条 "Dual Vector Space" 含数学定义与公式推导。

以上内容综合数学公理体系与学科应用场景，符合术语解释的严谨性与跨领域适用性。

网络扩展解释

对偶向量是线性代数、泛函分析及数学物理中的核心概念，其本质是对偶空间中的元素。以下是详细解释：

1. 定义与数学背景

对偶向量指向量空间( V )的对偶空间( V^ )中的元素。对偶空间是所有从( V )到标量域( mathbb{F} )（如实数或复数）的线性函数（线性泛函）的集合。即： $$ V^ = { f: V to mathbb{F} mid f text{ 是线性映射} } $$

2. 数学表示

有限维情形：若( V )是有限维，( V^* )与( V )维数相同。例如：
- 原空间( V )中的向量可表示为列向量( mathbf{v} = begin{pmatrix}v_1vdotsv_nend{pmatrix} )
- 对偶向量（线性泛函）则对应行向量( mathbf{f} = begin{pmatrix}f_1 & cdots & fnend{pmatrix} )，其作用为( mathbf{f}(mathbf{v}) = sum{i=1}^n f_i v_i )

3. 核心性质

自然配对：存在双线性映射( langle mathbf{f}, mathbf{v} rangle = mathbf{f}(mathbf{v}) )
对偶基：若( {mathbf{e}_i} )是( V )的基，则对偶基( {mathbf{e}^i} )满足( mathbf{e}^i(mathbf{e}j) = delta{ij} )
坐标变换：原空间基变换矩阵为( A )时，对偶基变换矩阵为( (A^{-1})^T )

4. 应用领域

量子力学：狄拉克符号中，bras（如( langle phi | )）是kets（如( | psi rangle )）的对偶向量
机器学习：支持向量机的对偶问题通过拉格朗日乘子转化为对偶空间优化
微分几何：余切向量场（如微分1-形式）是对偶向量的推广

5. 直观理解

行向量与列向量：矩阵乘法中，行向量作用在列向量上得到标量
坐标系视角：协变分量（原向量）与逆变分量（对偶向量）在坐标变换中反向变化

总结来说，对偶向量为原向量空间提供了"测量工具"，两者通过线性泛函相互作用，这一概念贯穿于现代数学与物理的诸多领域。