對偶向量英文解釋翻譯、對偶向量的近義詞、反義詞、例句
英語翻譯:
【計】 dual vector
分詞翻譯:
對偶的英語翻譯:
【計】 antithetic
【醫】 allelo-
向量的英語翻譯:
vector
【計】 V; vector quantity
【醫】 vector; vector quantity
專業解析
在數學和物理學中,對偶向量(Dual Vector)是一個核心概念,尤其線上性代數和泛函分析中扮演重要角色。其英文對應術語為Dual Vector 或Covector。以下是詳細解釋:
一、基本定義
對偶向量指定義在某個向量空間 (V) 上的線性泛函(Linear Functional)。具體來說:
- 若 (V) 是定義在數域 (mathbb{K})(如實數域 (mathbb{R}) 或複數域 (mathbb{C}))上的向量空間,則一個對偶向量是從 (V) 到 (mathbb{K}) 的線性映射,即:
[
f: V rightarrow mathbb{K}, quad f(amathbf{x} + bmathbf{y}) = a f(mathbf{x}) + b f(mathbf{y})
]
其中 (mathbf{x}, mathbf{y} in V),(a, b in mathbb{K})。
二、對偶空間
所有對偶向量的集合構成一個向量空間,稱為對偶空間(Dual Space),記為 (V^*):
- 若 (V) 是有限維空間(維度為 (n)),則 (V^*) 的維度也為 (n)。
- 對偶空間中的基可通過原空間基的對偶基(Dual Basis)構造。例如,若 ({mathbf{e}_1, ldots, mathbf{e}_n}) 是 (V) 的基,則對偶基 ({mathbf{e}, ldots, mathbf{e}^n}) 滿足:
[
mathbf{e}^i (mathbf{e}_j) = delta^i_j
]
其中 (delta^i_j) 是克羅内克函數(當 (i=j) 時為 1,否則為 0)。
三、物理與工程中的應用
- 張量分析
在廣義相對論和連續介質力學中,對偶向量用于定義協變張量(Covariant Tensor),描述物理量在坐标變換下的行為。
- 量子力學
狄拉克符號中的左矢(Bra Vector)即是對偶向量,與右矢(Ket Vector)構成内積運算。
- 機器學習
在支持向量機(SVM)中,對偶問題轉化為對偶空間中的優化,提升計算效率。
四、術語辨析
五、權威參考來源
- 數學教材
- Linear Algebra Done Right(Sheldon Axler)
系統闡述對偶空間理論。
- Finite-Dimensional Vector Spaces(Paul Halmos)
經典教材,涵蓋對偶基與線性映射。
- 物理文獻
- The Principles of Quantum Mechanics(Paul Dirac)
引入 Bra-Ket 符號,明确對偶向量應用。
- 線上資源
以上内容綜合數學公理體系與學科應用場景,符合術語解釋的嚴謹性與跨領域適用性。
網絡擴展解釋
對偶向量是線性代數、泛函分析及數學物理中的核心概念,其本質是對偶空間中的元素。以下是詳細解釋:
1. 定義與數學背景
對偶向量指向量空間( V )的對偶空間( V^ )中的元素。對偶空間是所有從( V )到标量域( mathbb{F} )(如實數或複數)的線性函數(線性泛函)的集合。即:
$$
V^ = { f: V to mathbb{F} mid f text{ 是線性映射} }
$$
2. 數學表示
- 有限維情形:若( V )是有限維,( V^* )與( V )維數相同。例如:
- 原空間( V )中的向量可表示為列向量( mathbf{v} = begin{pmatrix}v_1vdotsv_nend{pmatrix} )
- 對偶向量(線性泛函)則對應行向量( mathbf{f} = begin{pmatrix}f_1 & cdots & fnend{pmatrix} ),其作用為( mathbf{f}(mathbf{v}) = sum{i=1}^n f_i v_i )
3. 核心性質
- 自然配對:存在雙線性映射( langle mathbf{f}, mathbf{v} rangle = mathbf{f}(mathbf{v}) )
- 對偶基:若( {mathbf{e}_i} )是( V )的基,則對偶基( {mathbf{e}^i} )滿足( mathbf{e}^i(mathbf{e}j) = delta{ij} )
- 坐标變換:原空間基變換矩陣為( A )時,對偶基變換矩陣為( (A^{-1})^T )
4. 應用領域
- 量子力學:狄拉克符號中,bras(如( langle phi | ))是kets(如( | psi rangle ))的對偶向量
- 機器學習:支持向量機的對偶問題通過拉格朗日乘子轉化為對偶空間優化
- 微分幾何:餘切向量場(如微分1-形式)是對偶向量的推廣
5. 直觀理解
- 行向量與列向量:矩陣乘法中,行向量作用在列向量上得到标量
- 坐标系視角:協變分量(原向量)與逆變分量(對偶向量)在坐标變換中反向變化
總結來說,對偶向量為原向量空間提供了"測量工具",兩者通過線性泛函相互作用,這一概念貫穿于現代數學與物理的諸多領域。
分類
ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ
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