多项式系数英文解释翻译、多项式系数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 multinomial coefficient

分词翻译：

多项式的英语翻译：

multinomial; polynomial; quantic
【计】 P; polynomial

系数的英语翻译：

coefficient; modulus; quotiety
【计】 coefficient
【化】 coefficient
【医】 coefficient; quotient
【经】 coefficient; parameter; quotient

专业解析

多项式系数（Multinomial Coefficient）是组合数学中的重要概念，用于描述多项式展开式中各项的系数分布规律。其定义为：若将非负整数( n )分解为( k )个非负整数之和( n_1 + n_2 + cdots + n_k = n )，则对应的多项式系数计算公式为

frac{n!}{n_1! cdot n_2! cdot cdots cdot n_k!}

这一系数表示从( n )个元素中选取( n_1 )个第一类元素、( n_2 )个第二类元素，直至( n_k )个第( k )类元素的不同组合方式总数。

核心应用场景

多项式定理：多项式系数是展开式( (x_1 + x_2 + cdots + x_k)^n )中项( x_1^{n_1}x_2^{n_2}cdots x_k^{n_k} )的系数。
概率统计：用于多项分布的概率计算，描述多个类别事件的联合发生概率。
密码学与编码理论：在信息分组和纠错码设计中分析组合模式。

与二项式系数的关系

多项式系数是二项式系数的推广形式。当( k=2 )时，多项式系数退化为二项式系数( binom{n}{n_1} = frac{n!}{n_1!n_2!} )，对应二项式展开式( (a+b)^n )中的系数。

权威参考

数学经典教材《Concrete Mathematics》第2章对多项式系数的组合意义进行了严格推导。
Wolfram MathWorld的Multinomial Coefficient词条提供了公式定义及计算示例（来源：mathworld.wolfram.com/MultinomialCoefficient.html）。

网络扩展解释

多项式系数是组合数学中的一个重要概念，主要用于描述多项式展开式中各项的系数，或计算多重集合的排列方式。以下是详细解释：

1. 定义与公式

多项式系数表示将 ( n ) 个元素分成若干组（每组数量分别为 ( k_1, k_2, ldots, k_m )，且 ( k_1 + k_2 + cdots + k_m = n )）的不同方式数目。其计算公式为： $$ binom{n}{k_1, k_2, ldots, k_m} = frac{n!}{k_1! cdot k_2! cdot ldots cdot k_m!} $$

2. 多项式定理中的应用

在多项式展开式 ((x_1 + x_2 + cdots + x_m)^n) 中，项 ( x_1^{k_1}x_2^{k_2}cdots x_m^{k_m} ) 的系数即为多项式系数。例如：

展开 ((a + b + c)) 时，项 ( abc ) 的系数为： $$ frac{3!}{1! cdot 1! cdot 1!} = 6 $$

3. 与二项式系数的关系

二项式系数是多项式系数的特例（当 ( m=2 ) 时）：

例如，(binom{n}{k} = binom{n}{k, n-k} = frac{n!}{k!(n-k)!})。

4. 应用场景

多重集合排列：计算包含重复元素的排列数。例如，单词 "BANANA" 的字母排列数为： $$ frac{6!}{3! cdot 2! cdot 1!} = 60 $$
概率论：多项分布的概率公式中会用到多项式系数。

5. 示例计算

若将 5 个球分成 2 红、2 蓝、1 绿三组，分组方式数为： $$ binom{5}{2, 2, 1} = frac{5!}{2! cdot 2! cdot 1!} = 30 $$

通过多项式系数，可以系统化地解决涉及分组、排列或多项式展开的复杂问题。