多項式系數英文解釋翻譯、多項式系數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 multinomial coefficient

分詞翻譯：

多項式的英語翻譯：

multinomial; polynomial; quantic
【計】 P; polynomial

系數的英語翻譯：

coefficient; modulus; quotiety
【計】 coefficient
【化】 coefficient
【醫】 coefficient; quotient
【經】 coefficient; parameter; quotient

專業解析

多項式系數（Multinomial Coefficient）是組合數學中的重要概念，用于描述多項式展開式中各項的系數分布規律。其定義為：若将非負整數( n )分解為( k )個非負整數之和( n_1 + n_2 + cdots + n_k = n )，則對應的多項式系數計算公式為

frac{n!}{n_1! cdot n_2! cdot cdots cdot n_k!}

這一系數表示從( n )個元素中選取( n_1 )個第一類元素、( n_2 )個第二類元素，直至( n_k )個第( k )類元素的不同組合方式總數。

核心應用場景

多項式定理：多項式系數是展開式( (x_1 + x_2 + cdots + x_k)^n )中項( x_1^{n_1}x_2^{n_2}cdots x_k^{n_k} )的系數。
概率統計：用于多項分布的概率計算，描述多個類别事件的聯合發生概率。
密碼學與編碼理論：在信息分組和糾錯碼設計中分析組合模式。

與二項式系數的關系

多項式系數是二項式系數的推廣形式。當( k=2 )時，多項式系數退化為二項式系數( binom{n}{n_1} = frac{n!}{n_1!n_2!} )，對應二項式展開式( (a+b)^n )中的系數。

權威參考

數學經典教材《Concrete Mathematics》第2章對多項式系數的組合意義進行了嚴格推導。
Wolfram MathWorld的Multinomial Coefficient詞條提供了公式定義及計算示例（來源：mathworld.wolfram.com/MultinomialCoefficient.html）。

網絡擴展解釋

多項式系數是組合數學中的一個重要概念，主要用于描述多項式展開式中各項的系數，或計算多重集合的排列方式。以下是詳細解釋：

1. 定義與公式

多項式系數表示将 ( n ) 個元素分成若幹組（每組數量分别為 ( k_1, k_2, ldots, k_m )，且 ( k_1 + k_2 + cdots + k_m = n )）的不同方式數目。其計算公式為： $$ binom{n}{k_1, k_2, ldots, k_m} = frac{n!}{k_1! cdot k_2! cdot ldots cdot k_m!} $$

2. 多項式定理中的應用

在多項式展開式 ((x_1 + x_2 + cdots + x_m)^n) 中，項 ( x_1^{k_1}x_2^{k_2}cdots x_m^{k_m} ) 的系數即為多項式系數。例如：

展開 ((a + b + c)) 時，項 ( abc ) 的系數為： $$ frac{3!}{1! cdot 1! cdot 1!} = 6 $$

3. 與二項式系數的關系

二項式系數是多項式系數的特例（當 ( m=2 ) 時）：

例如，(binom{n}{k} = binom{n}{k, n-k} = frac{n!}{k!(n-k)!})。

4. 應用場景

多重集合排列：計算包含重複元素的排列數。例如，單詞 "BANANA" 的字母排列數為： $$ frac{6!}{3! cdot 2! cdot 1!} = 60 $$
概率論：多項分布的概率公式中會用到多項式系數。

5. 示例計算

若将 5 個球分成 2 紅、2 藍、1 綠三組，分組方式數為： $$ binom{5}{2, 2, 1} = frac{5!}{2! cdot 2! cdot 1!} = 30 $$

通過多項式系數，可以系統化地解決涉及分組、排列或多項式展開的複雜問題。