交换律英文解释翻译、交换律的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 commutative law; law of commutation

分词翻译：

交换的英语翻译：

exchange; interchange; change for; commute; permutation; reciprocation
replacement
【计】 exchange; swap; swapping; switching; transput; X
【医】 chiasmapy; cross-over; crossing-over
【经】 interchange; swap

律的英语翻译：

law; restrain; rule

专业解析

交换律（Commutative Law）是数学运算中的基本性质，指两个元素进行某种运算时，顺序调换不会改变结果。该概念在中英文语境中均具有明确对应表述，汉语称为"交换律"，英文术语为"commutative law"。

从数学表达角度可定义为：对于集合S中的任意元素a和b，若满足 $$ a circ b = b circ a $$ 则称运算$circ$在集合S上满足交换律。该定律在初等数学中最典型地体现在：

加法交换律：$a + b = b + a$（如3 + 5 = 5 + 3）
乘法交换律：$a times b = b times a$（如4 × 6 = 6 × 4）

根据《数学原理》的阐释，交换律的适用性具有领域特异性。在实数运算、多项式运算等代数结构中普遍成立，但在矩阵乘法、向量叉乘等高等数学领域则存在例外情况。剑桥大学数学系的研究表明，交换律的有效性与运算的对称性特征直接相关，当运算系统具备完全对称结构时，交换律成立的概率显著提升。

历史文献记载显示，交换律的雏形最早见于古埃及莱因德纸草书（公元前1650年）中的谷物分配计算，而系统化理论形成于19世纪布尔代数体系的建立阶段。现代数学教育体系中，该定律作为算术基础法则，被收录于《义务教育数学课程标准》的"数与代数"核心概念板块。

网络扩展解释

交换律是数学中的一种基本运算性质，指在特定运算下，改变元素的顺序不会改变结果。具体表现为：

定义
对于二元运算$circ$，若对任意元素$a$和$b$满足：
$$ a circ b = b circ a
$$
则称该运算满足交换律。
典型适用运算
- 加法：如 $3 + 5 = 5 + 3$，结果均为$8$。
- 乘法：如 $4 times 6 = 6 times 4$，结果均为$24$。
- 集合运算：集合的并集（$A cup B = B cup A$）和交集（$A cap B = B cap A$）也满足交换律。
不满足交换律的运算
- 减法：$5 - 3 eq 3 - 5$。
- 除法：$6 div 2 eq 2 div 6$。
- 矩阵乘法：若$A$和$B$为非方阵或不对称矩阵，通常$AB eq BA$。
实际应用
交换律简化了数学计算和逻辑推导。例如，在代数表达式中重组项（如$a + 2b = 2b + a$），或在编程优化中调整运算顺序以提高效率。

交换律是运算对称性的体现，但它并非所有运算的普遍性质。理解其适用性有助于避免计算错误（如误认为矩阵乘法可交换），并提升问题解决效率。