交換律英文解釋翻譯、交換律的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 commutative law; law of commutation

分詞翻譯：

交換的英語翻譯：

exchange; interchange; change for; commute; permutation; reciprocation
replacement
【計】 exchange; swap; swapping; switching; transput; X
【醫】 chiasmapy; cross-over; crossing-over
【經】 interchange; swap

律的英語翻譯：

law; restrain; rule

專業解析

交換律（Commutative Law）是數學運算中的基本性質，指兩個元素進行某種運算時，順序調換不會改變結果。該概念在中英文語境中均具有明确對應表述，漢語稱為"交換律"，英文術語為"commutative law"。

從數學表達角度可定義為：對于集合S中的任意元素a和b，若滿足 $$ a circ b = b circ a $$ 則稱運算$circ$在集合S上滿足交換律。該定律在初等數學中最典型地體現在：

加法交換律：$a + b = b + a$（如3 + 5 = 5 + 3）
乘法交換律：$a times b = b times a$（如4 × 6 = 6 × 4）

根據《數學原理》的闡釋，交換律的適用性具有領域特異性。在實數運算、多項式運算等代數結構中普遍成立，但在矩陣乘法、向量叉乘等高等數學領域則存在例外情況。劍橋大學數學系的研究表明，交換律的有效性與運算的對稱性特征直接相關，當運算系統具備完全對稱結構時，交換律成立的概率顯著提升。

曆史文獻記載顯示，交換律的雛形最早見于古埃及萊因德紙草書（公元前1650年）中的谷物分配計算，而系統化理論形成于19世紀布爾代數體系的建立階段。現代數學教育體系中，該定律作為算術基礎法則，被收錄于《義務教育數學課程标準》的"數與代數"核心概念闆塊。

網絡擴展解釋

交換律是數學中的一種基本運算性質，指在特定運算下，改變元素的順序不會改變結果。具體表現為：

定義
對于二元運算$circ$，若對任意元素$a$和$b$滿足：
$$ a circ b = b circ a
$$
則稱該運算滿足交換律。
典型適用運算
- 加法：如 $3 + 5 = 5 + 3$，結果均為$8$。
- 乘法：如 $4 times 6 = 6 times 4$，結果均為$24$。
- 集合運算：集合的并集（$A cup B = B cup A$）和交集（$A cap B = B cap A$）也滿足交換律。
不滿足交換律的運算
- 減法：$5 - 3 eq 3 - 5$。
- 除法：$6 div 2 eq 2 div 6$。
- 矩陣乘法：若$A$和$B$為非方陣或不對稱矩陣，通常$AB eq BA$。
實際應用
交換律簡化了數學計算和邏輯推導。例如，在代數表達式中重組項（如$a + 2b = 2b + a$），或在編程優化中調整運算順序以提高效率。

交換律是運算對稱性的體現，但它并非所有運算的普遍性質。理解其適用性有助于避免計算錯誤（如誤認為矩陣乘法可交換），并提升問題解決效率。