广义特征值英文解释翻译、广义特征值的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【化】 generalized eigenvalue

分词翻译：

广义的英语翻译：

broad sense; generalized

特征值的英语翻译：

eigenvalue
【计】 characteristic value; flag value; proper value
【化】 characteristic value; eigen value; eigenvalue
【经】 characteristic value

专业解析

在数学和工程领域，广义特征值（Generalized Eigenvalue）是标准特征值问题的扩展形式，用于分析非标准矩阵系统。其核心定义如下：

一、数学定义

对于两个 ( n times n ) 矩阵 ( A ) 和 ( B )，广义特征值 ( lambda ) 和非零向量 ( boldsymbol{v} ) 满足方程： $$ Aboldsymbol{v} = lambda Bboldsymbol{v} $$ 当 ( B ) 为单位矩阵时，该问题退化为标准特征值问题 ( Aboldsymbol{v} = lambda boldsymbol{v} ) 。

二、与标准特征值的区别

矩阵约束扩展
标准特征值仅针对单一矩阵，而广义特征值引入第二个矩阵 ( B )（通常为正定矩阵），用于描述系统的约束条件或权重关系。例如在结构动力学中，( A ) 表示刚度矩阵，( B ) 表示质量矩阵。
物理意义
广义特征值解对应系统的固有频率和振型。例如在振动分析中，( lambda ) 的平方根等于振动频率（单位为 rad/s），特征向量 ( boldsymbol{v} ) 表示振动模态形状。

三、典型应用场景

结构动力学
求解多自由度系统的自由振动方程 ( Kboldsymbol{phi} = omega Mboldsymbol{phi} )，其中 ( K ) 为刚度矩阵，( M ) 为质量矩阵，( omega ) 为固有频率。
控制系统
在状态空间模型 ( Edot{x} = Ax ) 中，广义特征值决定系统稳定性（当 ( E ) 奇异时无法使用标准解法）。
数值优化
用于解决带约束的二次规划问题，如 Rayleigh 商优化 ( R(A,B) = frac{boldsymbol{x}^T A boldsymbol{x}}{boldsymbol{x}^T B boldsymbol{x}} ) 的极值点即为广义特征向量。

权威参考文献

Golub, G. H., & Van Loan, C. F. (2013). Matrix Computations (4th ed.). Johns Hopkins University Press.
Clough, R. W., & Penzien, J. (1993). Dynamics of Structures (2nd ed.). McGraw-Hill.
Meirovitch, L. (1997). Principles and Techniques of Vibrations. Prentice Hall.
Antoulas, A. C. (2005). Approximation of Large-Scale Dynamical Systems. SIAM.

网络扩展解释

广义特征值是线性代数中标准特征值概念的扩展，其核心定义和应用如下：

1.基本定义

在标准特征值问题中，我们寻找标量$lambda$和非零向量$p$，使得： $$A p = lambda p$$ 而广义特征值问题将这一形式推广为： $$A p = lambda B p$$ 其中，$A$和$B$为矩阵，$lambda$称为$A$关于$B$的广义特征值，$p$为对应的广义特征向量。

2.与标准特征值的关系

当$B$为单位矩阵$E$时，广义特征值问题退化为标准特征值问题。
广义特征值的物理意义类似于标准特征值，但引入了矩阵$B$的权重或约束，例如在振动分析中$B$可能表示质量矩阵，$A$表示刚度矩阵。

3.几何与物理意义

几何解释：广义特征值$lambda$描述了向量$p$在经过矩阵变换$A$和$B$后的缩放比例。例如，在动态系统中，$lambda$可能对应系统的固有频率或能量状态。
物理应用：在量子力学中，广义特征值可用于描述带有约束条件的力学量观测值；在工程中，可用于求解耦合系统的稳定性或模态分析。

4.计算方法

广义特征值通常通过求解广义特征方程： $$det(A - lambda B) = 0$$ 当$B$可逆时，可转化为标准特征值问题： $$B^{-1} A p = lambda p$$

5.应用场景

结构力学：分析材料在复杂载荷下的振动模式。
信号处理：用于多变量数据分析（如主成分分析的推广形式）。
优化问题：在带约束的优化中，广义特征值对应拉格朗日乘子。

总结来说，广义特征值通过引入矩阵$B$扩展了标准特征值的适用范围，能够更灵活地描述多变量系统中的关键参数关系。如需进一步了解数值解法（如QZ算法），可参考来源中的详细推导。