廣義特征值英文解釋翻譯、廣義特征值的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【化】 generalized eigenvalue

分詞翻譯：

廣義的英語翻譯：

broad sense; generalized

特征值的英語翻譯：

eigenvalue
【計】 characteristic value; flag value; proper value
【化】 characteristic value; eigen value; eigenvalue
【經】 characteristic value

專業解析

在數學和工程領域，廣義特征值（Generalized Eigenvalue）是标準特征值問題的擴展形式，用于分析非标準矩陣系統。其核心定義如下：

一、數學定義

對于兩個 ( n times n ) 矩陣 ( A ) 和 ( B )，廣義特征值 ( lambda ) 和非零向量 ( boldsymbol{v} ) 滿足方程： $$ Aboldsymbol{v} = lambda Bboldsymbol{v} $$ 當 ( B ) 為單位矩陣時，該問題退化為标準特征值問題 ( Aboldsymbol{v} = lambda boldsymbol{v} ) 。

二、與标準特征值的區别

矩陣約束擴展
标準特征值僅針對單一矩陣，而廣義特征值引入第二個矩陣 ( B )（通常為正定矩陣），用于描述系統的約束條件或權重關系。例如在結構動力學中，( A ) 表示剛度矩陣，( B ) 表示質量矩陣。
物理意義
廣義特征值解對應系統的固有頻率和振型。例如在振動分析中，( lambda ) 的平方根等于振動頻率（單位為 rad/s），特征向量 ( boldsymbol{v} ) 表示振動模态形狀。

三、典型應用場景

結構動力學
求解多自由度系統的自由振動方程 ( Kboldsymbol{phi} = omega Mboldsymbol{phi} )，其中 ( K ) 為剛度矩陣，( M ) 為質量矩陣，( omega ) 為固有頻率。
控制系統
在狀态空間模型 ( Edot{x} = Ax ) 中，廣義特征值決定系統穩定性（當 ( E ) 奇異時無法使用标準解法）。
數值優化
用于解決帶約束的二次規劃問題，如 Rayleigh 商優化 ( R(A,B) = frac{boldsymbol{x}^T A boldsymbol{x}}{boldsymbol{x}^T B boldsymbol{x}} ) 的極值點即為廣義特征向量。

權威參考文獻

Golub, G. H., & Van Loan, C. F. (2013). Matrix Computations (4th ed.). Johns Hopkins University Press.
Clough, R. W., & Penzien, J. (1993). Dynamics of Structures (2nd ed.). McGraw-Hill.
Meirovitch, L. (1997). Principles and Techniques of Vibrations. Prentice Hall.
Antoulas, A. C. (2005). Approximation of Large-Scale Dynamical Systems. SIAM.

網絡擴展解釋

廣義特征值是線性代數中标準特征值概念的擴展，其核心定義和應用如下：

1.基本定義

在标準特征值問題中，我們尋找标量$lambda$和非零向量$p$，使得： $$A p = lambda p$$ 而廣義特征值問題将這一形式推廣為： $$A p = lambda B p$$ 其中，$A$和$B$為矩陣，$lambda$稱為$A$關于$B$的廣義特征值，$p$為對應的廣義特征向量。

2.與标準特征值的關系

當$B$為單位矩陣$E$時，廣義特征值問題退化為标準特征值問題。
廣義特征值的物理意義類似于标準特征值，但引入了矩陣$B$的權重或約束，例如在振動分析中$B$可能表示質量矩陣，$A$表示剛度矩陣。

3.幾何與物理意義

幾何解釋：廣義特征值$lambda$描述了向量$p$在經過矩陣變換$A$和$B$後的縮放比例。例如，在動态系統中，$lambda$可能對應系統的固有頻率或能量狀态。
物理應用：在量子力學中，廣義特征值可用于描述帶有約束條件的力學量觀測值；在工程中，可用于求解耦合系統的穩定性或模态分析。

4.計算方法

廣義特征值通常通過求解廣義特征方程： $$det(A - lambda B) = 0$$ 當$B$可逆時，可轉化為标準特征值問題： $$B^{-1} A p = lambda p$$

5.應用場景

結構力學：分析材料在複雜載荷下的振動模式。
信號處理：用于多變量數據分析（如主成分分析的推廣形式）。
優化問題：在帶約束的優化中，廣義特征值對應拉格朗日乘子。

總結來說，廣義特征值通過引入矩陣$B$擴展了标準特征值的適用範圍，能夠更靈活地描述多變量系統中的關鍵參數關系。如需進一步了解數值解法（如QZ算法），可參考來源中的詳細推導。