距离函数英文解释翻译、距离函数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 distance function

分词翻译：

距离的英语翻译：

be apart from; distance; interval; remove; space
【计】 geodesic distance
【医】 distance; telorism

函数的英语翻译：

function
【计】 F; FUNC; function

专业解析

距离函数（Distance Function），在数学和计算机科学中是一个核心概念，用于量化两个对象（通常是空间中的点）之间的“远近”或差异程度。它需要满足一组特定的公理才能被称为一个有效的度量（Metric）。

核心定义与公理 (Metric Axioms): 一个定义在集合 (X) 上的函数 (d: X times X to mathbb{R}) 被称为距离函数或度量，当且仅当它满足以下四个基本公理：

非负性 (Non-negativity): 对于所有 (x, y in X)，有 (d(x, y) geq 0)。距离不能为负数。
- (d(x, y) geq 0)
同一性 (Identity of Indiscernibles): (d(x, y) = 0) 当且仅当 (x = y)。只有点到自身的距离为零。
- (d(x, y) = 0 iff x = y)
对称性 (Symmetry): 对于所有 (x, y in X)，有 (d(x, y) = d(y, x))。从 x 到 y 的距离等于从 y 到 x 的距离。
- (d(x, y) = d(y, x))
三角不等式 (Triangle Inequality): 对于所有 (x, y, z in X)，有 (d(x, z) leq d(x, y) + d(y, z))。两点之间的直接距离不大于经过任何第三点的路径距离之和。
- (d(x, z) leq d(x, y) + d(y, z))

满足以上所有条件的函数 (d) 定义了一个度量空间 (Metric Space)。

常见距离函数类型:

欧几里得距离 (Euclidean Distance): 最常见于二维或三维物理空间（即我们日常感知的空间），计算两点间的直线距离。在 n 维空间 (mathbb{R}^n) 中，点 (x = (x_1, ..., x_n)) 和 (y = (y_1, ..., y_n)) 的欧氏距离为： [ dE(x, y) = sqrt{sum{i=1}^{n} (x_i - y_i)} ] 来源：数学标准定义，广泛见于基础数学和几何学教材。
曼哈顿距离 (Manhattan Distance / Taxicab Distance / L1 Distance): 计算在网格状路径（如城市街区）上行走的距离，是所有维度上坐标差的绝对值之和。 [ dM(x, y) = sum{i=1}^{n} |x_i - y_i| ] 来源：数学标准定义，广泛应用于计算机科学（如网格路径规划）和数据分析。
切比雪夫距离 (Chebyshev Distance / Chessboard Distance / L∞ Distance): 定义为所有维度上坐标差的最大绝对值。在国际象棋中，代表国王移动到任意位置所需的最少步数。 [ dC(x, y) = max{i} (|x_i - y_i|) ] 来源：数学标准定义，常见于棋盘游戏算法和图像处理。
闵可夫斯基距离 (Minkowski Distance): 欧氏距离和曼哈顿距离的推广，包含一个参数 (p)。 [ dp(x, y) = left( sum{i=1}^{n} |x_i - y_i|^p right)^{1/p} ]
- 当 (p=1) 时，即为曼哈顿距离。
- 当 (p=2) 时，即为欧氏距离。
- 当 (p to infty) 时，即为切比雪夫距离。来源：数学标准定义，是多种距离的统一框架。
汉明距离 (Hamming Distance): 用于比较两个等长字符串（或向量）在对应位置上不同字符（或元素）的个数。在信息论和编码理论中非常重要。来源：信息论标准定义，由 Richard Hamming 提出，广泛应用于通信和计算机科学。

应用领域: 距离函数是许多领域的基石：

几何学: 定义空间形状、角度、面积等的基础。
物理学: 描述物体位置、运动轨迹、场强等。
数据分析与机器学习:
- 聚类分析 (Clustering): K-Means 等算法依赖距离度量相似性。
- 分类算法 (Classification): K-最近邻 (K-Nearest Neighbors, KNN) 根据距离确定样本类别。
- 降维 (Dimensionality Reduction): 如多维缩放 (MDS) 旨在保持数据点间的距离关系。
- 异常检测 (Anomaly Detection): 远离群体的点可能被视为异常。
- 推荐系统 (Recommendation Systems): 计算用户或物品间的相似度。
计算机图形学: 光线追踪、碰撞检测、纹理映射等。
信息检索: 衡量文档或查询之间的相似性。
网络分析: 测量节点间的最短路径（可视为一种距离）。

总结: 距离函数是严格定义在集合上、满足非负性、同一性、对称性和三角不等式四个公理的二元函数。它精确量化了对象间的差异或分离程度。欧氏距离、曼哈顿距离、切比雪夫距离、闵可夫斯基距离和汉明距离是最常见的几种具体形式。理解距离函数的概念及其性质对于数学、物理、计算机科学（尤其是数据科学和机器学习）以及众多工程应用都至关重要。

网络扩展解释

距离函数（Distance Function），也称为度量函数（Metric），是数学和计算机科学中用于量化两个对象之间“远近”关系的函数。它必须满足以下公理：

非负性：任意两点距离非负，即
$$ d(x,y) geq 0 $$
且当且仅当 ( x = y ) 时，( d(x,y) = 0 )。
对称性：距离与方向无关，即
$$ d(x,y) = d(y,x) $$
三角不等式：绕道第三点的距离不小于直接距离，即
$$ d(x,z) leq d(x,y) + d(y,z) $$

常见类型与示例

欧几里得距离（直线距离）：
$$ d(mathbf{x}, mathbf{y}) = sqrt{sum_{i=1}^n (x_i - y_i)} $$
适用于几何空间中的物理距离计算，如平面两点坐标差。
曼哈顿距离（城市街区距离）：
$$ d(mathbf{x}, mathbf{y}) = sum_{i=1}^n |x_i - y_i| $$
模拟网格路径，如棋盘上的车移动。
切比雪夫距离：
$$ d(mathbf{x}, mathbf{y}) = max_i |x_i - y_i| $$
用于棋盘中国王的移动（八方向）。
余弦相似度（非严格距离函数）：
$$ text{相似度} = frac{mathbf{x} cdot mathbf{y}}{|mathbf{x}| |mathbf{y}|} $$
常用于文本向量夹角衡量，需转换为距离（如 ( 1 - text{相似度} )）。

应用场景

机器学习：K近邻算法、聚类分析（如K-means）依赖距离定义相似性。
图像处理：比较像素差异（如汉明距离用于哈希比对）。
自然语言处理：编辑距离衡量字符串差异（如拼写纠错）。
路径规划：图论中的最短路径问题（如Dijkstra算法）。

注意事项

不同距离函数对数据分布敏感，需根据问题选择（如高维数据可能倾向余弦距离）。
非度量距离（如编辑距离）可能不满足三角不等式，需谨慎使用。