距離函數英文解釋翻譯、距離函數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 distance function

分詞翻譯：

距離的英語翻譯：

be apart from; distance; interval; remove; space
【計】 geodesic distance
【醫】 distance; telorism

函數的英語翻譯：

function
【計】 F; FUNC; function

專業解析

距離函數（Distance Function），在數學和計算機科學中是一個核心概念，用于量化兩個對象（通常是空間中的點）之間的“遠近”或差異程度。它需要滿足一組特定的公理才能被稱為一個有效的度量（Metric）。

核心定義與公理 (Metric Axioms): 一個定義在集合 (X) 上的函數 (d: X times X to mathbb{R}) 被稱為距離函數或度量，當且僅當它滿足以下四個基本公理：

1. 非負性 (Non-negativity): 對于所有 (x, y in X)，有 (d(x, y) geq 0)。距離不能為負數。
   • (d(x, y) geq 0)
2. 同一性 (Identity of Indiscernibles): (d(x, y) = 0) 當且僅當 (x = y)。隻有點到自身的距離為零。
   • (d(x, y) = 0 iff x = y)
3. 對稱性 (Symmetry): 對于所有 (x, y in X)，有 (d(x, y) = d(y, x))。從 x 到 y 的距離等于從 y 到 x 的距離。
   • (d(x, y) = d(y, x))
4. 三角不等式 (Triangle Inequality): 對于所有 (x, y, z in X)，有 (d(x, z) leq d(x, y) + d(y, z))。兩點之間的直接距離不大于經過任何第三點的路徑距離之和。
   • (d(x, z) leq d(x, y) + d(y, z))

滿足以上所有條件的函數 (d) 定義了一個度量空間 (Metric Space)。

常見距離函數類型:

• 歐幾裡得距離 (Euclidean Distance): 最常見于二維或三維物理空間（即我們日常感知的空間），計算兩點間的直線距離。在 n 維空間 (mathbb{R}^n) 中，點 (x = (x_1, ..., x_n)) 和 (y = (y_1, ..., y_n)) 的歐氏距離為： [ dE(x, y) = sqrt{sum{i=1}^{n} (x_i - y_i)} ] 來源：數學标準定義，廣泛見于基礎數學和幾何學教材。
• 曼哈頓距離 (Manhattan Distance / Taxicab Distance / L1 Distance): 計算在網格狀路徑（如城市街區）上行走的距離，是所有維度上坐标差的絕對值之和。 [ dM(x, y) = sum{i=1}^{n} |x_i - y_i| ] 來源：數學标準定義，廣泛應用于計算機科學（如網格路徑規劃）和數據分析。
• 切比雪夫距離 (Chebyshev Distance / Chessboard Distance / L∞ Distance): 定義為所有維度上坐标差的最大絕對值。在國際象棋中，代表國王移動到任意位置所需的最少步數。 [ dC(x, y) = max{i} (|x_i - y_i|) ] 來源：數學标準定義，常見于棋盤遊戲算法和圖像處理。
• 闵可夫斯基距離 (Minkowski Distance): 歐氏距離和曼哈頓距離的推廣，包含一個參數 (p)。 [ dp(x, y) = left( sum{i=1}^{n} |x_i - y_i|^p right)^{1/p} ]
  • 當 (p=1) 時，即為曼哈頓距離。
  • 當 (p=2) 時，即為歐氏距離。
  • 當 (p to infty) 時，即為切比雪夫距離。 來源：數學标準定義，是多種距離的統一框架。
• 漢明距離 (Hamming Distance): 用于比較兩個等長字符串（或向量）在對應位置上不同字符（或元素）的個數。在信息論和編碼理論中非常重要。 來源：信息論标準定義，由 Richard Hamming 提出，廣泛應用于通信和計算機科學。

應用領域: 距離函數是許多領域的基石：

• 幾何學: 定義空間形狀、角度、面積等的基礎。
• 物理學: 描述物體位置、運動軌迹、場強等。
• 數據分析與機器學習:
  • 聚類分析 (Clustering): K-Means 等算法依賴距離度量相似性。
  • 分類算法 (Classification): K-最近鄰 (K-Nearest Neighbors, KNN) 根據距離确定樣本類别。
  • 降維 (Dimensionality Reduction): 如多維縮放 (MDS) 旨在保持數據點間的距離關系。
  • 異常檢測 (Anomaly Detection): 遠離群體的點可能被視為異常。
  • 推薦系統 (Recommendation Systems): 計算用戶或物品間的相似度。
• 計算機圖形學: 光線追蹤、碰撞檢測、紋理映射等。
• 信息檢索: 衡量文檔或查詢之間的相似性。
• 網絡分析: 測量節點間的最短路徑（可視為一種距離）。

總結: 距離函數是嚴格定義在集合上、滿足非負性、同一性、對稱性和三角不等式四個公理的二元函數。它精确量化了對象間的差異或分離程度。歐氏距離、曼哈頓距離、切比雪夫距離、闵可夫斯基距離和漢明距離是最常見的幾種具體形式。理解距離函數的概念及其性質對于數學、物理、計算機科學（尤其是數據科學和機器學習）以及衆多工程應用都至關重要。

網絡擴展解釋

距離函數（Distance Function），也稱為度量函數（Metric），是數學和計算機科學中用于量化兩個對象之間“遠近”關系的函數。它必須滿足以下公理：

1. 非負性：任意兩點距離非負，即
   $$ d(x,y) geq 0 $$
   且當且僅當 ( x = y ) 時，( d(x,y) = 0 )。

2. 對稱性：距離與方向無關，即
   $$ d(x,y) = d(y,x) $$

3. 三角不等式：繞道第三點的距離不小于直接距離，即
   $$ d(x,z) leq d(x,y) + d(y,z) $$

常見類型與示例

• 歐幾裡得距離（直線距離）：
  $$ d(mathbf{x}, mathbf{y}) = sqrt{sum_{i=1}^n (x_i - y_i)} $$
  適用于幾何空間中的物理距離計算，如平面兩點坐标差。

• 曼哈頓距離（城市街區距離）：
  $$ d(mathbf{x}, mathbf{y}) = sum_{i=1}^n |x_i - y_i| $$
  模拟網格路徑，如棋盤上的車移動。

• 切比雪夫距離：
  $$ d(mathbf{x}, mathbf{y}) = max_i |x_i - y_i| $$
  用于棋盤中國王的移動（八方向）。

• 餘弦相似度（非嚴格距離函數）：
  $$ text{相似度} = frac{mathbf{x} cdot mathbf{y}}{|mathbf{x}| |mathbf{y}|} $$
  常用于文本向量夾角衡量，需轉換為距離（如 ( 1 - text{相似度} )）。

應用場景

• 機器學習：K近鄰算法、聚類分析（如K-means）依賴距離定義相似性。
• 圖像處理：比較像素差異（如漢明距離用于哈希比對）。
• 自然語言處理：編輯距離衡量字符串差異（如拼寫糾錯）。
• 路徑規劃：圖論中的最短路徑問題（如Dijkstra算法）。

注意事項

• 不同距離函數對數據分布敏感，需根據問題選擇（如高維數據可能傾向餘弦距離）。
• 非度量距離（如編輯距離）可能不滿足三角不等式，需謹慎使用。

分類

ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ

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