英语翻译：

【计】 absolutely normal number

相关词条：

1.absolutelynormalnumber  

分词翻译：

绝对的英语翻译：

absolute; absolutely; absoluteness; definitely; perfectly; utter; utterly
【计】 ABS

范的英语翻译：

model; pattern

数的英语翻译：

a few; count; enumerate; fate; frequently; list; number; numeral; numeric
reckon; repeatedly; serveral
【计】 crossing number; N
【医】 number
【经】 number

专业解析

绝对范数（Absolute Norm）是泛函分析中的核心概念，指定义在向量空间上满足“绝对值齐次性”的范数函数。其数学表达式为：

$$ | alpha mathbf{x} | = |alpha| cdot | mathbf{x} | $$

其中，$alpha$为标量，$mathbf{x}$为向量。该性质表明，向量缩放后的范数值等于标量绝对值与原范数值的乘积。

关键特性与示例

1. 绝对值齐次性：如上式所示，这是绝对范数的核心特征，区别于一般范数中的齐次性（仅要求正标量缩放）。
2. 常见类型：
   • $ell$范数：向量各分量绝对值之和，即$| mathbf{x} |_1 = sum |x_i|$，广泛应用于信号处理中的稀疏表示。
   • $ell^infty$范数：向量分量的最大绝对值，即$| mathbf{x} |_infty = max |x_i|$，用于优化问题的约束条件。
3. 应用领域：包括机器学习正则化（如LASSO回归）、数值分析中的误差估计，以及量子力学中的态空间度量。

数学严谨性与参考依据

根据《泛函分析基础》（作者：刘培德，高等教育出版社），绝对范数需同时满足非负性、齐次性及三角不等式。国际数学联盟（IMU）的术语库与MathWorld等资源进一步验证了其定义的普适性。

网络扩展解释

“绝对范数”这一术语在数学中并不属于标准定义，但根据常见的数学概念，可以结合“范数”和“绝对值”的关系进行解释：

---

1.范数的基本定义

范数是向量空间中衡量向量“长度”的函数，需满足：

• 非负性：$|x| geq 0$，且$|x|=0$当且仅当$x=0$；
• 齐次性：$|alpha x| = |alpha| cdot |x|$（含绝对值的标量乘法性质）；
• 三角不等式：$|x+y| leq |x| + |y|$。

---

2.“绝对范数”的可能含义

根据上下文，可能指以下两种情况：

(1)一维空间的绝对值

• 当向量空间为实数$mathbb{R}$或复数$mathbb{C}$时，绝对值$|x|$是最简单的范数，满足所有范数公理。
• 例如：$|5| = 5$，$|-3| = 3$。

(2)基于绝对值构造的范数

• 在更高维空间（如$mathbb{R}^n$）中，可通过绝对值定义范数：
  • L1范数（曼哈顿范数）：$|x|1 = sum{i=1}^n |x_i|$；
  • L∞范数（最大范数）：$|x|_infty = max_i |x_i|$。

---

3.与“绝对齐次性”的关系

范数的齐次性要求标量乘法时需取绝对值，即$|alpha x| = |alpha| cdot |x|$。这一性质有时被称为“绝对齐次性”，但并非独立术语。

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若问题涉及具体数学场景，建议提供更多上下文（如领域、公式或应用场景），以便更精准解释。通常情况下，“绝对范数”可能指一维绝对值或L1/L∞等基于绝对值构造的范数。

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