极小元素英文解释翻译、极小元素的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 minimal element; minimal member

分词翻译：

极的英语翻译：

bally; cruelly; extreme; fearfully; mighty; pole
【医】 per-; pole; polus

小的英语翻译：

for a while; little; minor; petty; small; young
【计】 mic-
【医】 micr-; micro-; mikro-; nano-

元素的英语翻译：

element
【计】 E
【化】 element
【医】 element

专业解析

在数学（尤其是序理论）中，“极小元素”是一个重要概念，其汉英对照释义及详细解释如下：

极小元素 (Minimal Element)

定义：设 ((P, leq)) 是一个偏序集（Partially Ordered Set）。一个元素 (a in P) 称为极小元素，当且仅当在 (P) 中不存在另一个元素 (b in P) ((b eq a)) 使得 (b leq a)。换句话说，没有严格小于 (a) 的元素存在。

用数学符号表示为： $$

exists , b in P quad text{such that} quad (b leq a land b eq a) $$

关键点：

“极小”的相对性： “极小”是指在集合 (P) 中，相对于给定的偏序关系 (leq)，该元素没有严格的前驱（Predecessor）。它不一定是整个集合中“最小”的元素（最小元素要求小于或等于所有其他元素），也不意味着它是唯一的极小元（一个偏序集可以有多个极小元素）。
与最小元素的区别：最小元素（Least Element 或 Minimum Element）要求它小于或等于集合中的所有其他元素，即 (forall b in P, , a leq b)。极小元素只要求没有元素严格小于它，但不要求它小于或等于其他元素。最小元素一定是极小元素，但极小元素未必是最小元素。
存在性：在有限非空偏序集中，至少存在一个极小元素（这可以通过归纳法证明）。在无限偏序集中，极小元素可能不存在。

示例：考虑集合 (P = {2, 3, 4, 5, 6}) 及其上的整除关系 (mid)（即 (a leq b) 定义为 (a) 整除 (b)）。

元素 2：能整除它的只有 1 和 2，但 1 不在集合 (P) 中，在 (P) 内没有元素能整除 2（除了它自身）。因此 2 是极小元素。
元素 3：同理，在 (P) 内没有元素能整除 3（除了它自身），因此 3 也是极小元素。
元素 4：能被 2 整除 ((2 mid 4) 且 (2 eq 4))，所以 4 不是极小元素。
元素 5：是极小元素。
元素 6：能被 2 整除 ((2 mid 6)) 和 3 整除 ((3 mid 6))，所以不是极小元素。该集合的极小元素是 2, 3, 5。它没有最小元素，因为没有一个数能整除所有其他数（例如 2 不能整除 3 和 5）。

权威参考来源：

Davey, B. A., & Priestley, H. A. (2002). Introduction to Lattices and Order (2nd ed.). Cambridge University Press. (P. 20, Definition 2.10 讨论了偏序集中的极小元和最小元) [经典教材]
Gierz, G., Hofmann, K. H., Keimel, K., Lawson, J. D., Mislove, M., & Scott, D. S. (2003). Continuous Lattices and Domains. Cambridge University Press. (P. 4, 定义了偏序集和极小元) [高阶参考书]
Rosen, K. H. (2018). Discrete Mathematics and Its Applications (8th ed.). McGraw-Hill Education. (Section 9.6, Partial Orderings, 定义了极小元 minimal element) [广泛使用的离散数学教材]
Wolfram MathWorld: Minimal Element (提供了清晰定义和简单示例) [在线数学百科全书]

网络扩展解释

根据多个来源的信息，"极小元素"主要是一个数学概念，在不同学科中存在不同含义，以下是详细解释：

一、数学定义（偏序集）

在离散数学中，对于偏序集$(B, leq)$，元素$b in B$称为极小元素，当且仅当：

不存在其他元素$x in B$，使得$x eq b$且$x leq b$。简单来说，就是集合中没有比它更“小”的元素。例如，在集合$A={2,3,4,5}$按整除关系构成的偏序集中，素数2和3都是极小元素，因为无法被其他元素整除。

二、与相关概念的区别

极小元素 vs 最小元素
- 极小元素：可能存在多个，只需满足没有更小的元素。
- 最小元素：必须与所有元素可比，且唯一存在（若存在）。
极小元素 vs 极大元素
前者关注“下方”无元素，后者关注“上方”无元素。

三、应用领域

主要用于序理论、格论等数学分支，以及计算机科学中的数据结构分析。

四、与其他学科的术语区分

生物学/医学中的“小元素”：指微量元素（如钙、镁），与数学术语无关。
物理学中的“极小”：指数值或规模的最小化，如极值问题中的极小值。

五、英语对应翻译

极小元素的英文为minimal element 或minimal member。

极小元素是数学序理论的核心概念，强调偏序关系下的“最小性”，需注意与日常用语或其他学科术语的差异。