極小元素英文解釋翻譯、極小元素的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 minimal element; minimal member

分詞翻譯：

極的英語翻譯：

bally; cruelly; extreme; fearfully; mighty; pole
【醫】 per-; pole; polus

小的英語翻譯：

for a while; little; minor; petty; small; young
【計】 mic-
【醫】 micr-; micro-; mikro-; nano-

元素的英語翻譯：

element
【計】 E
【化】 element
【醫】 element

專業解析

在數學（尤其是序理論）中，“極小元素”是一個重要概念，其漢英對照釋義及詳細解釋如下：

極小元素 (Minimal Element)

定義：設 ((P, leq)) 是一個偏序集（Partially Ordered Set）。一個元素 (a in P) 稱為極小元素，當且僅當在 (P) 中不存在另一個元素 (b in P) ((b eq a)) 使得 (b leq a)。換句話說，沒有嚴格小于 (a) 的元素存在。

用數學符號表示為： $$

exists , b in P quad text{such that} quad (b leq a land b eq a) $$

關鍵點：

“極小”的相對性： “極小”是指在集合 (P) 中，相對于給定的偏序關系 (leq)，該元素沒有嚴格的前驅（Predecessor）。它不一定是整個集合中“最小”的元素（最小元素要求小于或等于所有其他元素），也不意味着它是唯一的極小元（一個偏序集可以有多個極小元素）。
與最小元素的區别：最小元素（Least Element 或 Minimum Element）要求它小于或等于集合中的所有其他元素，即 (forall b in P, , a leq b)。極小元素隻要求沒有元素嚴格小于它，但不要求它小于或等于其他元素。最小元素一定是極小元素，但極小元素未必是最小元素。
存在性：在有限非空偏序集中，至少存在一個極小元素（這可以通過歸納法證明）。在無限偏序集中，極小元素可能不存在。

示例：考慮集合 (P = {2, 3, 4, 5, 6}) 及其上的整除關系 (mid)（即 (a leq b) 定義為 (a) 整除 (b)）。

元素 2：能整除它的隻有 1 和 2，但 1 不在集合 (P) 中，在 (P) 内沒有元素能整除 2（除了它自身）。因此 2 是極小元素。
元素 3：同理，在 (P) 内沒有元素能整除 3（除了它自身），因此 3 也是極小元素。
元素 4：能被 2 整除 ((2 mid 4) 且 (2 eq 4))，所以 4 不是極小元素。
元素 5：是極小元素。
元素 6：能被 2 整除 ((2 mid 6)) 和 3 整除 ((3 mid 6))，所以不是極小元素。該集合的極小元素是 2, 3, 5。它沒有最小元素，因為沒有一個數能整除所有其他數（例如 2 不能整除 3 和 5）。

權威參考來源：

Davey, B. A., & Priestley, H. A. (2002). Introduction to Lattices and Order (2nd ed.). Cambridge University Press. (P. 20, Definition 2.10 讨論了偏序集中的極小元和最小元) [經典教材]
Gierz, G., Hofmann, K. H., Keimel, K., Lawson, J. D., Mislove, M., & Scott, D. S. (2003). Continuous Lattices and Domains. Cambridge University Press. (P. 4, 定義了偏序集和極小元) [高階參考書]
Rosen, K. H. (2018). Discrete Mathematics and Its Applications (8th ed.). McGraw-Hill Education. (Section 9.6, Partial Orderings, 定義了極小元 minimal element) [廣泛使用的離散數學教材]
Wolfram MathWorld: Minimal Element (提供了清晰定義和簡單示例) [線上數學百科全書]

網絡擴展解釋

根據多個來源的信息，"極小元素"主要是一個數學概念，在不同學科中存在不同含義，以下是詳細解釋：

一、數學定義（偏序集）

在離散數學中，對于偏序集$(B, leq)$，元素$b in B$稱為極小元素，當且僅當：

不存在其他元素$x in B$，使得$x eq b$且$x leq b$。簡單來說，就是集合中沒有比它更“小”的元素。例如，在集合$A={2,3,4,5}$按整除關系構成的偏序集中，素數2和3都是極小元素，因為無法被其他元素整除。

二、與相關概念的區别

極小元素 vs 最小元素
- 極小元素：可能存在多個，隻需滿足沒有更小的元素。
- 最小元素：必須與所有元素可比，且唯一存在（若存在）。
極小元素 vs 極大元素
前者關注“下方”無元素，後者關注“上方”無元素。

三、應用領域

主要用于序理論、格論等數學分支，以及計算機科學中的數據結構分析。

四、與其他學科的術語區分

生物學/醫學中的“小元素”：指微量元素（如鈣、鎂），與數學術語無關。
物理學中的“極小”：指數值或規模的最小化，如極值問題中的極小值。

五、英語對應翻譯

極小元素的英文為minimal element 或minimal member。

極小元素是數學序理論的核心概念，強調偏序關系下的“最小性”，需注意與日常用語或其他學科術語的差異。