生成子群英文解释翻译、生成子群的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 generated subgroup

分词翻译：

生成的英语翻译：

【计】 generating; spanning
【医】 production

子群的英语翻译：

subgroup
【计】 subblock
【化】 subgroup

专业解析

在群论中，生成子群 (Generated Subgroup)，是指由一个群 (G) 的某个非空子集 (S) 通过群运算所能得到的最小子群。它是包含集合 (S) 的所有元素的最小子群。其英文术语为subgroup generated by a set。

数学定义：设 (G) 是一个群，(S) 是 (G) 的一个非空子集（称为生成元集）。由 (S) 生成的子群，记作 (langle S rangle)，定义为 (G) 中包含 (S) 的所有子群的交集。等价地，(langle S rangle) 是由 (S) 中元素及其逆元的所有有限乘积构成的集合： $$langle S rangle = { s_1^{k_1} s_2^{k_2} cdots s_m^{k_m} mid m in mathbb{N}, s_i in S, k_i in mathbb{Z} }。$$

关键解释：

生成元 (Generators)：集合 (S) 中的元素称为该子群的生成元。即使 (S) 本身可能不是一个子群，但通过群运算（包括取逆元和相乘），可以用 (S) 中的元素“构造”出整个子群 (langle S rangle)。
最小性 (Smallest Containing Subgroup)： (langle S rangle) 是 (G) 中包含集合 (S) 的最小子群。这意味着任何包含 (S) 的子群必然包含 (langle S rangle)。
构造方式：子群 (langle S rangle) 中的元素都是有限长的“字”(words)，这些“字”由 (S) 中的元素及其逆元（负指数幂）相乘得到。例如，如果 (S = {a, b})，那么像 (a, b^{-1}, ab, ba^{-1}b) 这样的元素都属于 (langle S rangle)。
循环子群是特例：当生成元集 (S) 只包含一个元素 (a)（即 (S = {a})）时，生成的子群 (langle a rangle = { a^k mid k in mathbb{Z} }) 称为由 (a) 生成的循环子群 (Cyclic Subgroup)。

参考来源：

Springer Online Reference Works (数学百科)：提供了群论基本概念的权威定义，包括子群和生成子群。 (来源：SpringerLink Mathematics)
Eric Weisstein's MathWorld (Wolfram Research)：在 "Group" 和 "Subgroup" 条目下详细解释了生成子群的概念和数学表达。 (来源：MathWorld - A Wolfram Web Resource)
《近世代数基础》 (刘绍学著，高等教育出版社)：国内广泛使用的群论教材，清晰定义了子群和由集合生成的子群。 (来源：经典中文代数教材)

网络扩展解释

生成子群是群论中的一个基本概念，指由群中某个子集通过群运算生成的最小子群。以下是详细解释：

1.定义

生成子群由群 ( G ) 的一个子集 ( S ) 生成，记作 ( langle S rangle )，其定义为：

包含 ( S ) 中所有元素；
对群运算（乘法与取逆元）封闭；
是包含 ( S ) 的最小子群（即所有包含 ( S ) 的子群的交集）。

2.构造方式

生成子群的元素可通过以下方式构造：

有限乘积：形如 ( s_1 s_2 cdots s_k ) 的元素，其中 ( s_i in S cup S^{-1} )（( S^{-1} ) 表示 ( S ) 中元素的逆元）；
幂次运算：若 ( S = {a} ) 是单元素集，则 ( langle a rangle = { a^n mid n in mathbb{Z} } )，此时生成子群为循环群。

3.例子

整数加法群：在 ( (mathbb{Z}, +) ) 中，由 ( 1 ) 生成的子群是 ( mathbb{Z} ) 本身，因为所有整数可通过 ( 1 ) 的累加或累减得到。
对称群 ( S_3 )：由置换 ( (1;2) ) 生成的子群为 ( { text{恒等置换}, (1;2) } )，仅包含两个元素。

4.性质

最小性：生成子群是包含 ( S ) 的最小子群。
空集生成：若 ( S = emptyset )，则 ( langle S rangle ) 为平凡子群（仅含单位元）。
交换性：若 ( S ) 中元素两两可交换，则 ( langle S rangle ) 是交换群。

5.应用

生成子群用于描述群的结构，例如：

循环群完全由单个元素生成；
有限生成群（如整数加法群）可通过有限个生成元研究其性质。

通过生成子群，可将复杂的群结构分解为更简单的生成元组合，是研究群论的重要工具。