生成子群英文解釋翻譯、生成子群的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 generated subgroup

分詞翻譯：

生成的英語翻譯：

【計】 generating; spanning
【醫】 production

子群的英語翻譯：

subgroup
【計】 subblock
【化】 subgroup

專業解析

在群論中，生成子群 (Generated Subgroup)，是指由一個群 (G) 的某個非空子集 (S) 通過群運算所能得到的最小子群。它是包含集合 (S) 的所有元素的最小子群。其英文術語為subgroup generated by a set。

數學定義：設 (G) 是一個群，(S) 是 (G) 的一個非空子集（稱為生成元集）。由 (S) 生成的子群，記作 (langle S rangle)，定義為 (G) 中包含 (S) 的所有子群的交集。等價地，(langle S rangle) 是由 (S) 中元素及其逆元的所有有限乘積構成的集合： $$langle S rangle = { s_1^{k_1} s_2^{k_2} cdots s_m^{k_m} mid m in mathbb{N}, s_i in S, k_i in mathbb{Z} }。$$

關鍵解釋：

生成元 (Generators)：集合 (S) 中的元素稱為該子群的生成元。即使 (S) 本身可能不是一個子群，但通過群運算（包括取逆元和相乘），可以用 (S) 中的元素“構造”出整個子群 (langle S rangle)。
最小性 (Smallest Containing Subgroup)： (langle S rangle) 是 (G) 中包含集合 (S) 的最小子群。這意味着任何包含 (S) 的子群必然包含 (langle S rangle)。
構造方式：子群 (langle S rangle) 中的元素都是有限長的“字”(words)，這些“字”由 (S) 中的元素及其逆元（負指數幂）相乘得到。例如，如果 (S = {a, b})，那麼像 (a, b^{-1}, ab, ba^{-1}b) 這樣的元素都屬于 (langle S rangle)。
循環子群是特例：當生成元集 (S) 隻包含一個元素 (a)（即 (S = {a})）時，生成的子群 (langle a rangle = { a^k mid k in mathbb{Z} }) 稱為由 (a) 生成的循環子群 (Cyclic Subgroup)。

參考來源：

Springer Online Reference Works (數學百科)：提供了群論基本概念的權威定義，包括子群和生成子群。 (來源：SpringerLink Mathematics)
Eric Weisstein's MathWorld (Wolfram Research)：在 "Group" 和 "Subgroup" 條目下詳細解釋了生成子群的概念和數學表達。 (來源：MathWorld - A Wolfram Web Resource)
《近世代數基礎》 (劉紹學著，高等教育出版社)：國内廣泛使用的群論教材，清晰定義了子群和由集合生成的子群。 (來源：經典中文代數教材)

網絡擴展解釋

生成子群是群論中的一個基本概念，指由群中某個子集通過群運算生成的最小子群。以下是詳細解釋：

1.定義

生成子群由群 ( G ) 的一個子集 ( S ) 生成，記作 ( langle S rangle )，其定義為：

包含 ( S ) 中所有元素；
對群運算（乘法與取逆元）封閉；
是包含 ( S ) 的最小子群（即所有包含 ( S ) 的子群的交集）。

2.構造方式

生成子群的元素可通過以下方式構造：

有限乘積：形如 ( s_1 s_2 cdots s_k ) 的元素，其中 ( s_i in S cup S^{-1} )（( S^{-1} ) 表示 ( S ) 中元素的逆元）；
幂次運算：若 ( S = {a} ) 是單元素集，則 ( langle a rangle = { a^n mid n in mathbb{Z} } )，此時生成子群為循環群。

3.例子

整數加法群：在 ( (mathbb{Z}, +) ) 中，由 ( 1 ) 生成的子群是 ( mathbb{Z} ) 本身，因為所有整數可通過 ( 1 ) 的累加或累減得到。
對稱群 ( S_3 )：由置換 ( (1;2) ) 生成的子群為 ( { text{恒等置換}, (1;2) } )，僅包含兩個元素。

4.性質

最小性：生成子群是包含 ( S ) 的最小子群。
空集生成：若 ( S = emptyset )，則 ( langle S rangle ) 為平凡子群（僅含單位元）。
交換性：若 ( S ) 中元素兩兩可交換，則 ( langle S rangle ) 是交換群。

5.應用

生成子群用于描述群的結構，例如：

循環群完全由單個元素生成；
有限生成群（如整數加法群）可通過有限個生成元研究其性質。

通過生成子群，可将複雜的群結構分解為更簡單的生成元組合，是研究群論的重要工具。