布尔环英文解释翻译、布尔环的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 Boolean ring

分词翻译：

布尔的英语翻译：

【计】 B; BOOL

环的英语翻译：

annulus; hem in; link; loop; ring; surround
【计】 ring up; toroid
【化】 ring
【医】 annuli; anulus; band; circle; circulus; cycle; cyclo-; gyro-; loop; orb
ring; verge

专业解析

布尔环（Boolean Ring）是一种具有特殊代数结构的环，其定义与布尔代数存在等价关系。在数学和计算机科学领域，布尔环的理论为逻辑运算和数字电路设计提供了重要基础。

1.定义与基本性质

布尔环是一个环$(R, +, cdot)$，其中每个元素都是幂等的（即对任意$x in R$，满足$x = x$）。由此可推导出其加法运算对应逻辑异或（XOR），乘法运算对应逻辑与（AND）。布尔环必为交换环，且特征为2（即$1+1=0$）。

2.与布尔代数的等价性

布尔环与布尔代数可通过以下方式相互转化：

布尔代数→布尔环：定义加法为对称差（$a + b = (a land eg b) lor ( eg a land b)$），乘法为交运算（$a cdot b = a land b$）。
布尔环→布尔代数：定义逻辑或为$a lor b = a + b + ab$，逻辑非为$ eg a = 1 + a$。这种等价性揭示了布尔环在逻辑系统中的本质作用。

3.应用领域

数字电路：布尔环的运算规则被用于门电路设计与逻辑简化，例如加法器和多路复用器的实现。
集合论：布尔环可表示集合运算（并、交、补），其中环的加法对应集合的对称差运算。
计算机科学：在编程语言和数据库查询优化中，布尔环性质帮助简化条件表达式。

4.经典案例

布尔环的典型例子是幂集环：设$S$为集合，其所有子集构成布尔环，加法为对称差，乘法为交集运算，空集为加法单位元，全集为乘法单位元。

参考文献

网络扩展解释

布尔环（Boolean Ring）是一种特殊的代数结构，其核心特性与布尔代数密切相关。以下是综合多个来源的详细解释：

1.定义

布尔环是一个结合环，且每个元素都是幂等元，即对任意元素$a in R$，满足： $$ a = a

这一性质直接决定了布尔环的其他特性，例如交换性和特征为2的性质。

2.主要性质

交换性：布尔环一定是交换环，即对任意$a, b in R$，有$ab = ba$。这一结论可通过展开$(a+b)$并结合$a=a$和$b=b$推导得出。
加法特性：每个元素都是自身的加法逆元，即$a + a = 0$，因此$-a = a$。这一性质源于环的特征为2。
运算简化：布尔环中的乘法与逻辑“与”运算类似，加法则对应逻辑“异或”（XOR）。

3.与布尔代数的关系