布爾環英文解釋翻譯、布爾環的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 Boolean ring

分詞翻譯：

布爾的英語翻譯：

【計】 B; BOOL

環的英語翻譯：

annulus; hem in; link; loop; ring; surround
【計】 ring up; toroid
【化】 ring
【醫】 annuli; anulus; band; circle; circulus; cycle; cyclo-; gyro-; loop; orb
ring; verge

專業解析

布爾環（Boolean Ring）是一種具有特殊代數結構的環，其定義與布爾代數存在等價關系。在數學和計算機科學領域，布爾環的理論為邏輯運算和數字電路設計提供了重要基礎。

1.定義與基本性質

布爾環是一個環$(R, +, cdot)$，其中每個元素都是幂等的（即對任意$x in R$，滿足$x = x$）。由此可推導出其加法運算對應邏輯異或（XOR），乘法運算對應邏輯與（AND）。布爾環必為交換環，且特征為2（即$1+1=0$）。

2.與布爾代數的等價性

布爾環與布爾代數可通過以下方式相互轉化：

布爾代數→布爾環：定義加法為對稱差（$a + b = (a land eg b) lor ( eg a land b)$），乘法為交運算（$a cdot b = a land b$）。
布爾環→布爾代數：定義邏輯或為$a lor b = a + b + ab$，邏輯非為$ eg a = 1 + a$。這種等價性揭示了布爾環在邏輯系統中的本質作用。

3.應用領域

數字電路：布爾環的運算規則被用于門電路設計與邏輯簡化，例如加法器和多路複用器的實現。
集合論：布爾環可表示集合運算（并、交、補），其中環的加法對應集合的對稱差運算。
計算機科學：在編程語言和數據庫查詢優化中，布爾環性質幫助簡化條件表達式。

4.經典案例

布爾環的典型例子是幂集環：設$S$為集合，其所有子集構成布爾環，加法為對稱差，乘法為交集運算，空集為加法單位元，全集為乘法單位元。

參考文獻

網絡擴展解釋

布爾環（Boolean Ring）是一種特殊的代數結構，其核心特性與布爾代數密切相關。以下是綜合多個來源的詳細解釋：

1.定義

布爾環是一個結合環，且每個元素都是幂等元，即對任意元素$a in R$，滿足： $$ a = a

這一性質直接決定了布爾環的其他特性，例如交換性和特征為2的性質。

2.主要性質

交換性：布爾環一定是交換環，即對任意$a, b in R$，有$ab = ba$。這一結論可通過展開$(a+b)$并結合$a=a$和$b=b$推導得出。
加法特性：每個元素都是自身的加法逆元，即$a + a = 0$，因此$-a = a$。這一性質源于環的特征為2。
運算簡化：布爾環中的乘法與邏輯“與”運算類似，加法則對應邏輯“異或”（XOR）。

3.與布爾代數的關系