不定积分英文解释翻译、不定积分的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 indefinite integral; indefinite integration

分词翻译：

不的英语翻译：

nay; no; non-; nope; not; without
【医】 a-; non-; un-

定积分的英语翻译：

【计】 definite integral

专业解析

在数学分析领域中，"不定积分"（indefinite integral）是微积分学的基础概念之一，指对给定函数求其原函数的过程。其数学表达式为： $$ int f(x)dx = F(x) + C $$ 其中$f(x)$称为被积函数，$F(x)$是满足$F'(x) = f(x)$的原函数，$C$为积分常数。这一运算过程与微分构成互逆关系，即莱布尼茨-牛顿基本定理的核心内容。

从几何角度解释，不定积分代表着曲线族在平面直角坐标系中的纵向平移集合，每个积分常数对应一条平行移动后的曲线。这种特性在物理学中常用于描述运动学方程，例如通过速度函数积分求位移时，积分常数对应初始位置参数。

权威数学教材《微积分学教程》指出，有效计算不定积分需要掌握分项积分法、换元积分法等核心技巧，同时要注意被积函数在定义域内的连续性要求。特殊函数的不定积分可能涉及特殊函数表达式，如误差函数或椭圆积分形式。

值得注意的学术规范要求，在书写不定积分结果时必须显式标注积分常数，这一规则由国际数学联合会(IMU)在《数学符号标准》中明确规定。实际操作中，工程应用常通过初始条件确定积分常数的具体数值。

网络扩展解释

不定积分是微积分中的一个核心概念，与导数和定积分密切相关。以下是详细解释：

1.基本定义

不定积分是求导的逆运算。给定一个函数( f(x) )，其不定积分表示为： $$ int f(x) , dx = F(x) + C $$ 其中：

( F(x) )称为( f(x) )的原函数（或反导数），满足( F'(x) = f(x) )。
( C )是任意常数，称为积分常数。因为导数为零的函数是常数，原函数不唯一。

2.与定积分的区别

不定积分：结果是函数族（含常数( C )），没有具体的积分上下限。
定积分：结果是数值，表示函数在区间内的面积。

3.几何意义

不定积分代表一组平行曲线，这些曲线在每一点的切线斜率都等于原函数( f(x) )。例如：

若( int 2x , dx = x + C )，则所有抛物线( y = x + C )的导数均为( 2x )。

4.计算规则

线性性：( int [a f(x) + b g(x)] , dx = a int f(x) , dx + b int g(x) , dx )
常见积分公式：
- ( int x^n , dx = frac{x^{n+1}}{n+1} + C )（( n eq -1 )）
- ( int cos x , dx = sin x + C )
- ( int e^x , dx = e^x + C )。

5.应用

求解微分方程：通过积分消除导数项。
物理中的运动学问题：例如已知速度求位移。

示例

计算( int 3x , dx )： $$ int 3x , dx = x + C quad（因为frac{d}{dx}(x) = 3x） $$

不定积分是求导的逆过程，结果为一族相差常数的函数，广泛应用于数学、物理和工程领域。