不定積分英文解釋翻譯、不定積分的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 indefinite integral; indefinite integration

分詞翻譯：

不的英語翻譯：

nay; no; non-; nope; not; without
【醫】 a-; non-; un-

定積分的英語翻譯：

【計】 definite integral

專業解析

在數學分析領域中，"不定積分"（indefinite integral）是微積分學的基礎概念之一，指對給定函數求其原函數的過程。其數學表達式為： $$ int f(x)dx = F(x) + C $$ 其中$f(x)$稱為被積函數，$F(x)$是滿足$F'(x) = f(x)$的原函數，$C$為積分常數。這一運算過程與微分構成互逆關系，即萊布尼茨-牛頓基本定理的核心内容。

從幾何角度解釋，不定積分代表着曲線族在平面直角坐标系中的縱向平移集合，每個積分常數對應一條平行移動後的曲線。這種特性在物理學中常用于描述運動學方程，例如通過速度函數積分求位移時，積分常數對應初始位置參數。

權威數學教材《微積分學教程》指出，有效計算不定積分需要掌握分項積分法、換元積分法等核心技巧，同時要注意被積函數在定義域内的連續性要求。特殊函數的不定積分可能涉及特殊函數表達式，如誤差函數或橢圓積分形式。

值得注意的學術規範要求，在書寫不定積分結果時必須顯式标注積分常數，這一規則由國際數學聯合會(IMU)在《數學符號标準》中明确規定。實際操作中，工程應用常通過初始條件确定積分常數的具體數值。

網絡擴展解釋

不定積分是微積分中的一個核心概念，與導數和定積分密切相關。以下是詳細解釋：

1.基本定義

不定積分是求導的逆運算。給定一個函數( f(x) )，其不定積分表示為： $$ int f(x) , dx = F(x) + C $$ 其中：

( F(x) )稱為( f(x) )的原函數（或反導數），滿足( F'(x) = f(x) )。
( C )是任意常數，稱為積分常數。因為導數為零的函數是常數，原函數不唯一。

2.與定積分的區别

不定積分：結果是函數族（含常數( C )），沒有具體的積分上下限。
定積分：結果是數值，表示函數在區間内的面積。

3.幾何意義

不定積分代表一組平行曲線，這些曲線在每一點的切線斜率都等于原函數( f(x) )。例如：

若( int 2x , dx = x + C )，則所有抛物線( y = x + C )的導數均為( 2x )。

4.計算規則

線性性：( int [a f(x) + b g(x)] , dx = a int f(x) , dx + b int g(x) , dx )
常見積分公式：
- ( int x^n , dx = frac{x^{n+1}}{n+1} + C )（( n eq -1 )）
- ( int cos x , dx = sin x + C )
- ( int e^x , dx = e^x + C )。

5.應用

求解微分方程：通過積分消除導數項。
物理中的運動學問題：例如已知速度求位移。

示例

計算( int 3x , dx )： $$ int 3x , dx = x + C quad（因為frac{d}{dx}(x) = 3x） $$

不定積分是求導的逆過程，結果為一族相差常數的函數，廣泛應用于數學、物理和工程領域。