廣函數英文解釋翻譯、廣函數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 generic function

分詞翻譯：

廣的英語翻譯：

expand; extensive; numerous; vast; wide

函數的英語翻譯：

function
【計】 F; FUNC; function

專業解析

在數學領域，"廣函數"（Generalized Function）是泛函分析中的重要概念，指一類擴展了經典函數定義的數學對象，常用于解決微分方程、物理建模等問題。以下是詳細解釋：

一、術語定義與核心特征

漢英對照釋義
- 中文：廣函數（又稱“廣義函數”）
- 英文：Generalized Function 或 Distribution
  廣義函數不是傳統意義上的點對點映射函數，而是通過其對"測試函數"（光滑緊支撐函數）的作用來定義。例如，狄拉克δ函數（Dirac Delta）滿足： $$ int_{-infty}^{infty} delta(x)phi(x) ,dx = phi(0) $$ 其中 (phi(x)) 是測試函數。
數學本質
廣義函數是連續線性泛函，定義在測試函數空間（如 (C_c^infty)）上。其核心價值在于允許處理不連續或奇異（如無窮大）的"函數"，例如：
- 狄拉克δ函數描述點質量分布
- 海維賽德階躍函數處理間斷問題。

二、關鍵應用領域

微分方程理論
廣義函數擴展了導數的概念，使得不連續函數（如沖擊響應）的微分方程有嚴格數學解。例如，在分布意義下，δ函數的導數是偶極子分布。
物理與工程模型
- 量子力學：δ函數描述粒子位置的概率密度
- 信號處理：卷積運算中用于系統沖擊響應分析
- 電磁學：點電荷場強建模。

三、曆史背景與權威定義

該理論由蘇聯數學家謝爾蓋·索伯列夫（1935）和法國數學家洛朗·施瓦茨（1940-50年代）系統建立。權威數學文獻如《泛函分析》（Rudin）明确指出：

"廣義函數是局部可積函數空間的連續對偶，其弱導數推廣了經典微積分。"

參考文獻

Springer《廣義函數導論》第2章
鍊接

《數學物理方法》Arfken & Weber, 第7版
鍊接

中科院數學所《廣義函數講義》
鍊接

MathWorld "Generalized Function" 詞條
鍊接

網絡擴展解釋

廣義函數（也稱為分布）是數學中擴展傳統函數概念的重要工具，主要用于解決經典函數無法描述的物理或數學問題（如狄拉克δ函數）。以下是其核心要點：

1.定義與本質

廣義函數是一個線性連續的泛函，其作用對象是“檢驗函數空間”（如光滑且緊支撐的函數集合）。具體來說，它通過将每個檢驗函數ψ(t)映射到一個實數或複數N來實現，而非直接定義在普通點集上。例如，狄拉克δ函數在檢驗函數f(x)上的作用值為f(0)。

2.數學表達

設檢驗函數空間為( mathcal{D} )，廣義函數( T )滿足： $$ T: mathcal{D} rightarrow mathbb{C} T(apsi_1 + bpsi_2) = aT(psi_1) + bT(psi2) quad (text{線性}) lim{n to infty} T(psi_n) = T(psi) quad (text{連續性}) $$

3.與經典函數的區别

普通函數：直接定義在點集上（如( f(x) = x )）。
廣義函數：通過積分或泛函作用于檢驗函數來表現，例如δ函數滿足( int_{-infty}^{infty} delta(x)psi(x)dx = psi(0) )。

4.典型例子

狄拉克δ函數：描述瞬時沖擊或點源，滿足( delta(x)=0 , (x eq 0) )且積分值為1。
階躍函數的導數：傳統導數在x=0處不存在，但作為廣義函數可定義為δ函數。

5.應用領域

廣義函數在偏微分方程、量子力學、信號處理等領域有重要應用。例如，在求解微分方程時，可通過廣義函數處理不連續或奇異的解。

擴展閱讀

若需進一步了解數學細節，可參考Laurent Schwartz的分布理論（獲1950年菲爾茲獎），其為廣義函數的嚴格化奠定了基礎。