拐點英文解釋翻譯、拐點的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 yielding point
【化】 break point; inflection point

abduct; crutch; kidnap; limp; swindle; turn

a little; dot; drop; feature; particle; point; spot
【計】 distributing point; dot; PT
【醫】 point; puncta; punctum; spot
【經】 point; pt

拐點（Inflection Point）指函數圖像上曲率符號發生變化的點，即函數從凹向上（Concave Up）轉為凹向下（Concave Down），或反之的臨界位置。其嚴格數學判定需滿足以下條件：

二階導數變號：設函數 (f(x)) 在點 (x_0) 處二階可導，若 (f''(x)) 在 (x_0) 左右兩側異號，則 ((x_0, f(x_0))) 為拐點。
幾何特征：拐點處切線穿過函數曲線，标志着凹凸性的轉變（如抛物線頂點非拐點，因其凹凸性未改變）。

來源：普林斯頓大學數學百科 Inflection Point

在經濟學中，拐點描述經濟趨勢的轉折性變化，例如：

經濟複蘇拐點：GDP增長率由負轉正的關鍵節點，标志衰退結束；
技術擴散拐點：新産品采納率從緩慢增長突變為指數級增長的臨界階段（參考"S形曲線"模型）。

權威案例：《經濟學人》對2023年全球供應鍊恢複的分析中，将物流成本下降與産能回升的交彙點稱為"供應鍊拐點" The Economist: Supply Chain Inflection

在非專業語境中，拐點泛指任何趨勢的轉折時刻，強調從量變到質變的切換：

"疫情後遠程辦公的普及率突破60%，标志着工作模式進入新拐點。"
語言依據：《現代漢語詞典（第7版）》将"拐點"釋義為"事物發展趨勢開始轉變的節點"。

拐點的漢英對應需分語境：

數學：Inflection Point（凹凸性轉折）
經濟/社會：Turning Point / Tipping Point（趨勢性轉折）
其本質是連續性變化中的不連續轉折特征，需通過具體語境判斷語義側重。

跨學科參考：斯坦福大學術語庫 Stanford Term Bank: Inflection Point

拐點的含義可以從數學本質和引申應用兩個層面解釋：

一、數學定義（）拐點是微分幾何中的重要概念，特指連續曲線上凹凸性發生變化的點。需滿足三個條件：

函數在該點處連續
二階導數存在且為零，或二階導數不存在
在拐點鄰域内二階導數符號發生改變數學表達式為：設函數$f(x)$在$x_0$處連續，若$exists delta>0$使得當$x in (x_0-delta, x_0)$時$f''(x)$與$x in (x_0, x_0+delta)$時$f''(x)$異號，則$(x_0,f(x_0))$為拐點。

二、引申應用（）

需注意：數學拐點強調幾何特性變化，而應用領域的"拐點"更多指代量變到質變的轉折，二者在嚴格定義上存在差異。尋找實際拐點時，往往需要結合數據分析與領域專業知識綜合判斷。