英語翻譯：

【計】 probability distribution function
【化】 integral distribution function; probability distribution function

分詞翻譯：

概的英語翻譯：

approximate; deportment; general

率的英語翻譯：

frank; hasty; lead; modulus; quotiety; rash; rate; ratio; usually
【醫】 rate
【經】 rater.

分布函數的英語翻譯：

【計】 distribution function
【化】 distribution function

專業解析

概率分布函數（Probability Distribution Function，簡稱PDF）是概率論與統計學中的核心概念，用于描述隨機變量在不同取值上的概率密度或累積概率。在漢英對照語境下，其定義可拆解為以下三部分：

1. 數學定義與公式

   概率分布函數分為兩種類型：

• 概率密度函數（PDF）：適用于連續型隨機變量，定義為$f_X(x) = frac{d}{dx} F_X(x)$，其中$F_X(x)$為累積分布函數（CDF）。
• 概率質量函數（PMF）：適用于離散型隨機變量，定義為$P(X=x_i) = p_i$，滿足$sum p_i=1$。

2. 常見分布類型與應用場景

   典型分布包括正态分布（高斯分布）、泊松分布、均勻分布等。例如，正态分布的概率密度函數可表示為：

   $$

   f(x) = frac{1}{sigmasqrt{2pi}} e^{-frac{(x-mu)}{2sigma}}

   $$

   其中$mu$為均值，$sigma$為标準差。這類分布在自然現象建模（如測量誤差）和工程信號處理中廣泛應用。

3. 跨學科權威定義參考

• 根據《統計學術語标準》（ISO 3534-1），概率分布函數是“描述隨機變量概率特性的函數”。
• 劍橋大學數學教材指出，其核心作用在于“将概率與隨機變量的取值空間系統化關聯”。

該概念在金融風險評估（如蒙特卡洛模拟）、通信系統設計（噪聲分析）及機器學習（貝葉斯推斷）中均發揮基礎作用。美國國家标準技術研究院（NIST）的統計手冊中特别強調其在實驗數據分析中的工具價值。

網絡擴展解釋

概率分布函數是概率論和統計學中描述隨機變量取值規律的核心工具，它通過數學形式刻畫隨機事件發生的可能性分布。根據變量類型的不同，主要分為以下兩類：

一、累積分布函數（CDF）

定義式為： $$ F_X(x) = P(X leq x) $$ 其核心特征包括：

1. 單調性：隨x增大函數值不減少
2. 右連續性：在實數軸上處處右連續
3. 邊界性：$lim{x to -infty}F(x)=0$，$lim{x to +infty}F(x)=1$

二、概率密度/質量函數

1. 離散型變量（PMF）：

   • 表達式：$p(x_i) = P(X = x_i)$
   • 典型分布：二項分布（如抛硬币實驗）、泊松分布（描述低概率事件）

2. 連續型變量（PDF）：

   • 定義式：$f(x) = frac{dF(x)}{dx}$
   • 積分特性：$int_{-infty}^{+infty}f(x)dx = 1$
   • 典型分布：正态分布$N(μ,σ)$（鐘形曲線）、指數分布（無記憶性）

三、核心應用價值

1. 計算區間概率：如$P(a<X≤b)=F(b)-F(a)$
2. 描述統計特性：通過分布形态判斷均值、方差等參數
3. 建模現實問題：金融風險評估用對數正态分布，電子元件壽命用韋伯分布

實際使用中需注意：離散型PMF直接對應概率值，而連續型PDF需要積分求面積才能得到概率，二者不可混淆。掌握分布函數的特性，能有效進行數據建模和統計推斷。

分類

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