等比級數英文解釋翻譯、等比級數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 geometric progression; growth
【經】 geometric progression

分詞翻譯：

等比的英語翻譯：

【計】 geometric proportion

級數的英語翻譯：

progression; series
【經】 progression

專業解析

等比級數的定義與數學特性

等比級數（Geometric Series）指一個等比數列各項的和，其特點是相鄰項的比值恒定，該比值稱為公比（common ratio）。用數學形式表示為：

$$ S_n = a + ar + ar + cdots + ar^{n-1} $$

其中：

( a ) 為首項（first term），
( r ) 為公比，
( n ) 為項數。

核心特性

求和公式：
- 有限項求和：當 ( r eq 1 ) 時，
  $$ S_n = a frac{1-r^n}{1-r} quad text{(有限項和)} $$
- 無限項收斂：若公比滿足 ( |r| < 1 )，級數收斂于：
  $$ S = frac{a}{1-r} quad text{(無限項和)} $$
收斂條件：
- 當 ( |r| geq 1 ) 時，級數發散（無窮級數無确定和）。

應用場景

金融複利計算：如年利率為 ( r ) 的投資，總收益可表示為等比級數。
分形幾何：科赫雪花（Koch snowflake）的周長計算依賴等比級數。

中英術語對照

中文	英文
等比級數	Geometric Series
公比	Common Ratio
首項	First Term
收斂	Convergence

參考文獻

《數學分析教程》（高等教育出版社），定義與收斂性證明。
Springer《數學百科全書》："Geometric Series"詞條，應用案例解析。

網絡擴展解釋

等比級數（又稱幾何級數）是數學中一種特殊的數列求和形式，其特點是每一項與前一項的比值保持恒定（稱為公比）。以下是詳細解釋：

1. 定義與公式

定義：若數列中每一項與前一項的比值為固定常數 ( r )，即 ( frac{a_{n+1}}{a_n} = r )，則稱該數列為等比數列；其所有項的和稱為等比級數。
前 ( n ) 項和公式： $$ S_n = a_1 cdot frac{1 - r^n}{1 - r} quad (r eq 1) $$ 其中 ( a_1 ) 是首項，( r ) 是公比。
無窮級數和（當 ( |r| < 1 ) 時收斂）： $$ S = frac{a_1}{1 - r} $$

2. 收斂與發散條件

收斂：當公比 ( |r| < 1 ) 時，等比級數趨于有限值（如 ( 1 + frac{1}{2} + frac{1}{4} + cdots = 2 )）。
發散：當 ( |r| geq 1 ) 時，級數無限增大或無固定趨勢（如 ( 1 + 2 + 4 + 8 + cdots )）。

3. 經典例子

示例1：( 1 + frac{1}{2} + frac{1}{4} + frac{1}{8} + cdots = 2 )（公比 ( r = frac{1}{2} )，首項 ( a_1 = 1 )）。
示例2：複利計算中，本金和利息的累計可視為等比級數求和。

4. 應用領域

金融：複利、年金等計算。
物理：衰減過程（如放射性衰變）。
計算機科學：算法複雜度分析（如分治法的遞歸樹求和）。

等比級數的核心在于公比的恒定性及其對求和結果的影響。理解其收斂條件（( |r| < 1 )）和發散特性是應用的關鍵。