等比级数英文解释翻译、等比级数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 geometric progression; growth
【经】 geometric progression

分词翻译：

等比的英语翻译：

【计】 geometric proportion

级数的英语翻译：

progression; series
【经】 progression

专业解析

等比级数的定义与数学特性

等比级数（Geometric Series）指一个等比数列各项的和，其特点是相邻项的比值恒定，该比值称为公比（common ratio）。用数学形式表示为：

$$ S_n = a + ar + ar + cdots + ar^{n-1} $$

其中：

( a ) 为首项（first term），
( r ) 为公比，
( n ) 为项数。

核心特性

求和公式：
- 有限项求和：当 ( r eq 1 ) 时，
  $$ S_n = a frac{1-r^n}{1-r} quad text{(有限项和)} $$
- 无限项收敛：若公比满足 ( |r| < 1 )，级数收敛于：
  $$ S = frac{a}{1-r} quad text{(无限项和)} $$
收敛条件：
- 当 ( |r| geq 1 ) 时，级数发散（无穷级数无确定和）。

应用场景

金融复利计算：如年利率为 ( r ) 的投资，总收益可表示为等比级数。
分形几何：科赫雪花（Koch snowflake）的周长计算依赖等比级数。

中英术语对照

中文	英文
等比级数	Geometric Series
公比	Common Ratio
首项	First Term
收敛	Convergence

参考文献

《数学分析教程》（高等教育出版社），定义与收敛性证明。
Springer《数学百科全书》："Geometric Series"词条，应用案例解析。

网络扩展解释

等比级数（又称几何级数）是数学中一种特殊的数列求和形式，其特点是每一项与前一项的比值保持恒定（称为公比）。以下是详细解释：

1. 定义与公式

定义：若数列中每一项与前一项的比值为固定常数 ( r )，即 ( frac{a_{n+1}}{a_n} = r )，则称该数列为等比数列；其所有项的和称为等比级数。
前 ( n ) 项和公式： $$ S_n = a_1 cdot frac{1 - r^n}{1 - r} quad (r eq 1) $$ 其中 ( a_1 ) 是首项，( r ) 是公比。
无穷级数和（当 ( |r| < 1 ) 时收敛）： $$ S = frac{a_1}{1 - r} $$

2. 收敛与发散条件

收敛：当公比 ( |r| < 1 ) 时，等比级数趋于有限值（如 ( 1 + frac{1}{2} + frac{1}{4} + cdots = 2 )）。
发散：当 ( |r| geq 1 ) 时，级数无限增大或无固定趋势（如 ( 1 + 2 + 4 + 8 + cdots )）。

3. 经典例子

示例1：( 1 + frac{1}{2} + frac{1}{4} + frac{1}{8} + cdots = 2 )（公比 ( r = frac{1}{2} )，首项 ( a_1 = 1 )）。
示例2：复利计算中，本金和利息的累计可视为等比级数求和。

4. 应用领域

金融：复利、年金等计算。
物理：衰减过程（如放射性衰变）。
计算机科学：算法复杂度分析（如分治法的递归树求和）。

等比级数的核心在于公比的恒定性及其对求和结果的影响。理解其收敛条件（( |r| < 1 )）和发散特性是应用的关键。