二面體群英文解釋翻譯、二面體群的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 dihedral group

分詞翻譯：

二的英語翻譯：

twin; two
【計】 binary-coded decimal; binary-coded decimal character code
binary-to-decimal conversion; binary-to-hexadecimal conversion
【醫】 bi-; bis-; di-; duo-

面的英語翻譯：

face; surface; cover; directly; range; scale; side
【醫】 face; facies; facio-; prosopo-; surface

體的英語翻譯：

body; style; substance; system
【計】 body
【醫】 body; corpora; corps; corpus; leukocytic crystals; scapus; shaft; soma
Somato-

群的英語翻譯：

bevy; caboodle; clot; cluster; covey; flock; gang; group; horde; knot; swarm
throng; troop
【醫】 group; herd

專業解析

二面體群（Dihedral group）是群論中描述幾何對稱性的典型例子，其漢英對照定義及數學特性可概括如下：

定義與符號表示
二面體群記作 $D_n$（n≥3），表示正n邊形的所有對稱變換構成的群。其英文術語為"dihedral group"，源自希臘語"di-"（二）和"hedron"（面），指代該群描述物體兩面對稱的特性。群元素包含n次旋轉對稱和n次反射對稱，總階數為2n。
群元素構成
- 旋轉操作：$r^k (0≤k<n)$，表示繞中心軸旋轉$frac{2πk}{n}$弧度
- 反射操作：$s, sr, sr,...,sr^{n-1}$，表示沿不同對稱軸的鏡像反射
  滿足關系式：$r^n = e$, $s = e$, $srs = r^{-1}$，構成非阿貝爾群。
幾何與代數意義
在晶體學中，$D_n$描述分子如苯環（n=6）的對稱性；在三維空間中，$D_3$對應三角錐體的對稱操作。其表示理論在量子化學中用于分析分子軌道。
特殊性質
- 當n為質數時，$D_n$是單群的最小非平凡實例
- 子群結構包含循環子群$⟨r⟩$和反射子群$⟨s⟩$
- 在機器人運動規劃中用于描述關節旋轉-反射複合動作

權威參考文獻：

Weisstein, E. W. "Dihedral Group." MathWorld, https://mathworld.wolfram.com/DihedralGroup.html

Dummit, D. S., & Foote, R. M. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). Wiley.

Carter, J. S. (2009). Visual Group Theory. MAA Press.

Cotton, F. A. (1990). Chemical Applications of Group Theory (3rd ed.). Wiley-Interscience.

網絡擴展解釋

二面體群（Dihedral Group）是抽象代數中描述正多邊形對稱性的非交換群，通常用符號 ( D_n ) 表示，其中 ( n ) 是正多邊形的邊數。以下是其詳細解釋：

1.基本定義

二面體群包含旋轉和反射兩種對稱操作，共有 ( 2n ) 個元素：

旋轉操作：包括繞中心旋轉 ( 0°, 360°/n, 720°/n, dots, (n-1) cdot 360°/n )，共 ( n ) 種。
反射操作：關于 ( n ) 條不同對稱軸的反射，共 ( n ) 種。

例如，正三角形（( n=3 )）的二面體群 ( D_3 ) 包含 6 個元素：3 種旋轉和 3 種反射。

2.生成元與群結構

二面體群可由兩個生成元定義：

旋轉生成元 ( r )：表示順時針旋轉 ( 360°/n )，滿足 ( r^n = e )（單位元）。
反射生成元 ( s )：表示關于某條固定對稱軸的反射，滿足 ( s = e )。

兩者關系為非交換：( srs = r^{-1} )，即先反射、再旋轉、再反射等價于逆時針旋轉。

3.幾何解釋

正多邊形的對稱性：二面體群是正多邊形所有對稱操作的集合，包括旋轉對稱性和反射對稱性。
作用方式：群元素作用于多邊形頂點時，保持其形狀不變。例如，( D_4 )（正方形）的反射操作會交換頂點位置，但保持正方形不變。

4.代數性質

非交換性：當 ( n geq 3 ) 時，二面體群是非交換群，例如 ( rs eq sr )。
階與子群：( D_n ) 的階為 ( 2n )，其子群包括循環子群（僅旋轉操作）和反射生成的二階子群。
表示方式：可用矩陣表示旋轉和反射操作，例如二維平面中的旋轉矩陣和反射矩陣。

5.應用領域

晶體學：描述晶體結構的對稱性。
化學：用于分子對稱性分析，如苯環（( D_6 ) 對稱性）。
密碼學：某些加密算法利用非交換群的性質。

公式示例

二面體群的關系可表示為： $$ r^n = e, quad s = e, quad srs = r^{-1} $$

總結來說，二面體群是連接幾何對稱性與抽象代數的重要概念，其非交換性、生成元關系和實際應用使其在數學和科學中具有廣泛意義。