二面体群英文解释翻译、二面体群的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 dihedral group

分词翻译：

二的英语翻译：

twin; two
【计】 binary-coded decimal; binary-coded decimal character code
binary-to-decimal conversion; binary-to-hexadecimal conversion
【医】 bi-; bis-; di-; duo-

面的英语翻译：

face; surface; cover; directly; range; scale; side
【医】 face; facies; facio-; prosopo-; surface

体的英语翻译：

body; style; substance; system
【计】 body
【医】 body; corpora; corps; corpus; leukocytic crystals; scapus; shaft; soma
Somato-

群的英语翻译：

bevy; caboodle; clot; cluster; covey; flock; gang; group; horde; knot; swarm
throng; troop
【医】 group; herd

专业解析

二面体群（Dihedral group）是群论中描述几何对称性的典型例子，其汉英对照定义及数学特性可概括如下：

定义与符号表示
二面体群记作 $D_n$（n≥3），表示正n边形的所有对称变换构成的群。其英文术语为"dihedral group"，源自希腊语"di-"（二）和"hedron"（面），指代该群描述物体两面对称的特性。群元素包含n次旋转对称和n次反射对称，总阶数为2n。
群元素构成
- 旋转操作：$r^k (0≤k<n)$，表示绕中心轴旋转$frac{2πk}{n}$弧度
- 反射操作：$s, sr, sr,...,sr^{n-1}$，表示沿不同对称轴的镜像反射
  满足关系式：$r^n = e$, $s = e$, $srs = r^{-1}$，构成非阿贝尔群。
几何与代数意义
在晶体学中，$D_n$描述分子如苯环（n=6）的对称性；在三维空间中，$D_3$对应三角锥体的对称操作。其表示理论在量子化学中用于分析分子轨道。
特殊性质
- 当n为质数时，$D_n$是单群的最小非平凡实例
- 子群结构包含循环子群$⟨r⟩$和反射子群$⟨s⟩$
- 在机器人运动规划中用于描述关节旋转-反射复合动作

权威参考文献：

Weisstein, E. W. "Dihedral Group." MathWorld, https://mathworld.wolfram.com/DihedralGroup.html

Dummit, D. S., & Foote, R. M. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). Wiley.

Carter, J. S. (2009). Visual Group Theory. MAA Press.

Cotton, F. A. (1990). Chemical Applications of Group Theory (3rd ed.). Wiley-Interscience.

网络扩展解释

二面体群（Dihedral Group）是抽象代数中描述正多边形对称性的非交换群，通常用符号 ( D_n ) 表示，其中 ( n ) 是正多边形的边数。以下是其详细解释：

1.基本定义

二面体群包含旋转和反射两种对称操作，共有 ( 2n ) 个元素：

旋转操作：包括绕中心旋转 ( 0°, 360°/n, 720°/n, dots, (n-1) cdot 360°/n )，共 ( n ) 种。
反射操作：关于 ( n ) 条不同对称轴的反射，共 ( n ) 种。

例如，正三角形（( n=3 )）的二面体群 ( D_3 ) 包含 6 个元素：3 种旋转和 3 种反射。

2.生成元与群结构

二面体群可由两个生成元定义：

旋转生成元 ( r )：表示顺时针旋转 ( 360°/n )，满足 ( r^n = e )（单位元）。
反射生成元 ( s )：表示关于某条固定对称轴的反射，满足 ( s = e )。

两者关系为非交换：( srs = r^{-1} )，即先反射、再旋转、再反射等价于逆时针旋转。

3.几何解释

正多边形的对称性：二面体群是正多边形所有对称操作的集合，包括旋转对称性和反射对称性。
作用方式：群元素作用于多边形顶点时，保持其形状不变。例如，( D_4 )（正方形）的反射操作会交换顶点位置，但保持正方形不变。

4.代数性质

非交换性：当 ( n geq 3 ) 时，二面体群是非交换群，例如 ( rs eq sr )。
阶与子群：( D_n ) 的阶为 ( 2n )，其子群包括循环子群（仅旋转操作）和反射生成的二阶子群。
表示方式：可用矩阵表示旋转和反射操作，例如二维平面中的旋转矩阵和反射矩阵。

5.应用领域

晶体学：描述晶体结构的对称性。
化学：用于分子对称性分析，如苯环（( D_6 ) 对称性）。
密码学：某些加密算法利用非交换群的性质。

公式示例

二面体群的关系可表示为： $$ r^n = e, quad s = e, quad srs = r^{-1} $$

总结来说，二面体群是连接几何对称性与抽象代数的重要概念，其非交换性、生成元关系和实际应用使其在数学和科学中具有广泛意义。